滚动小专题(九) 圆的有关计算与证明
类型1 与圆的基本性质有关的计算与证明
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD. (1)求证：BD平分∠ABC；
(2)当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD.
证明：(1)∵OD⊥AC，OD为半径， ︵︵∴CD＝AD. ∴∠CBD＝∠ABD. ∴BD平分∠ABC. (2)∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝30°.
∴∠AOD＝∠OBD＋∠ODB＝30°＋30°＝60°. 又∵OD⊥AC于E，
∴∠OEA＝90°.
∴∠A＝180°－∠OEA－∠AOD ＝180°－90°－60°＝30°. 又∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°.
1
在Rt△ACB中，BC＝AB，
21
∵OD＝AB，
2
∴BC＝OD.
2．(2016·温州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD延长线于点F，连接EF. (1)求证：∠1＝∠F； (2)若sinB＝
5，EF＝25，求CD的长． 5
解：(1)证明：连接DE. ∵BD是⊙O的直径， ∴∠DEB＝90°. ∵E是AB的中点， ∴DA＝DB. ∴∠1＝∠B. ∵∠B＝∠F，
∴∠1＝∠F. (2)∵∠1＝∠F，
∴AE＝EF＝25. ∴AB＝2AE＝45.
在Rt△ABC中，AC＝AB·sinB＝4，
∴BC＝AB2－AC2＝8.
设CD＝x，则AD＝BD＝8－x，
∵AC2＋CD2＝AD2，即42＋x2＝(8－x)2， ∴x＝3，即CD＝3.
3．(2016·苏州)如图，AB是圆O的直径，D、E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD.连接AC交圆O于点F，连接AE、DE、DF. (1)证明：∠E＝∠C；
(2)若∠E＝55°，求∠BDF的度数；
2
(3)设DE交AB于点G，若DF＝4，cosB＝，E是弧AB的中点，求EG·ED的值．
3
解：(1)证明：连接AD.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC. ∵CD＝BD，∴AD垂直平分BC.
∴AB＝AC.∴∠B＝∠C. ∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C.
(2)∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形， ∴∠AFD＝180°－∠E.
又∠CFD＝180°－∠AFD，∴∠CFD＝∠E＝55°. 又∵∠E＝∠C＝55°，
∴∠BDF＝∠C＋∠CFD＝110°. (3)连接OE.
∵∠CFD＝∠AEG＝∠C，∴FD＝CD＝BD＝4. 2
在Rt△ABD中，cosB＝，BD＝4，∴AB＝6.
3︵
∵E是AB的中点，AB是⊙O的直径， ∴∠AOE＝90°.
∵AO＝OE＝3，∴AE＝32.
︵
∵E是AB的中点，∴∠ADE＝∠EAB， ∴△AEG∽△DEA. ∴
AEDE
＝，即EG·ED＝AE2＝18. EGAE
类型2 与圆的切线有关的计算与证明 4．(2016·南充)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，OC＝1，以点O为圆心，
OC为半径作圆．
(1)求证：AB为⊙O的切线； 1
(2)如果tan∠CAO＝，求cosB的值．
3
解：(1)证明：作OD⊥AB于点D. ∵AO平分∠CAB，OC⊥AC， ∴OD＝OC.
∵OC是⊙O的半径， ∴AB是⊙O的切线． (2)∵∠ACB＝90°，
∴AC是⊙O的切线．∴AC＝AD.
在Rt△ACB和Rt△OBD中，∵∠ABC＝∠OBD， ∴△ABC∽△OBD， ∴
OBODOC1＝＝＝tan∠CAO＝. ABACAC3
∵OC＝OD＝1，∴AC＝AD＝3.
设OB为x，则AB＝3x，BD＝AB－AD＝3x－3.
在Rt△ODB中，OB2＝OD2＋DB2，即x2＝12＋(3x－3)2. 5
解得x1＝，x2＝1(不合题意，舍去)．
43DB3
∴DB＝，∴cosB＝＝. 4OB5
5．(2016·威海)如图，在△BCE中，点A为边BE上一点，以AB为直径的⊙O与CE相切于点D，AD∥OC，点F为OC与⊙O的交点，连接AF.
(1)求证：CB是⊙O的切线；
(2)若∠ECB＝60°，AB＝6，求图中阴影部分的面积．
解：(1)证明：连接OD，与AF相交于点G. ∵CE与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CE.
∴∠CDO＝90°. ∵AD∥OC，
∴∠ADO＝∠DOC，∠DAO＝∠BOC. ∵OA＝OB， ∴∠ADO＝∠DAO. ∴∠DOC＝∠COB.
?CO＝CO，
在△CDO和△CBO中，?∠DOC＝∠BOC，
?OD＝OB，
∴△CDO≌△CBO(SAS)． ∴∠CBO＝∠CDO＝90°. ∴CB是⊙O的切线．
(2)由(1)可知∠OCD＝∠BCO，∠DOC＝∠COB， ∵∠ECB＝60°， 1
∴∠OCD＝∠ECB＝30°.
2∴∠DOC＝∠COB＝60°. ∴∠AOD＝60°. ∵OA＝OD，
∴△OAD是等边三角形． ∴AD＝OD＝OF.
?∠DOC＝∠ADG，
在△FOG和△ADG中，?∠FGO＝∠AGD，
?OF＝AD，
∴△FOG≌△ADG(AAS)． ∴S△ADG＝S△FOG. ∵AB＝6，
∴⊙O的半径r＝3，
60π·323
∴S阴影＝S扇形ODF＝＝π.
3602
6．(2016·十堰)如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C. (1)求证：∠ACD＝∠B；
(2)如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F； ①求tan∠CFE的值；
②若AC＝3，BC＝4，求CE的长．
解：(1)证明：连接OC. ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠ACO. ∵CD是⊙O切线， ∴OC⊥CD.
∴∠DCO＝90°.
∴∠ACD＋∠ACO＝90°. ∵AB是直径，
∴∠OAC＋∠B＝90°. ∴∠ACD＝∠B.
(2)①∵∠CEF＝∠ECD＋∠CDE， ∠CFE＝∠B＋∠FDB，
∠CDE＝∠FDB，∠ECD＝∠B， ∴∠CEF＝∠CFE. ∵∠ECF＝90°，
∴∠CEF＝∠CFE＝45°. ∴tan∠CFE＝tan45°＝1.
②在Rt△ABC中，∵AC＝3，BC＝4， ∴AB＝AC2＋BC2＝5.
∵∠CDA＝∠BDC，∠DCA＝∠B， ∴△DCA∽△DBC. ∴
DCACDA3
＝＝＝.设DC＝3k，DB＝4k， DBCBDC4
∵CD2＝DA·DB， ∴9k2＝(4k－5)·4k. 20∴k＝.
7
6080
∴CD＝，DB＝.
77
∵∠CDE＝∠BDF，∠DCE＝∠B， ∴△DCE∽△DBF. ∴
ECDC＝. FBDB
设EC＝CF＝x， 607x
∴＝. 4－x80
712∴x＝.
712
∴CE＝.
7
