第8课时 组合(3)
教学目标:深刻理解排列与组合的区别和联系，熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够解决一些较为复杂的组合应用问题，提高合理选用知识的能力． 教学重点:理解排列与组合的区别和联系，熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个
性质，并且能够运用它解决一些简单的应用问题．
教学难点: 能够解决一些较为复杂的组合应用问题，提高合理选用知识的能力． 教学过程： 一.问题情境:
1．复习排列和组合的有关内容：
依然强调：排列——次序性；组合——无序性． 2．排列数、组合数的公式及有关性质:
性质1：Cnm?Cnn?m ; 性质2：Cnm?1＝Cnm+Cnm?1.
?1 常用的等式：Ck0?Ck0?1?Ckk?Ckk??1 1 二.数学运用
例1．从编号为1，2，3，?，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编
号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？
14325C5 ；3奇2偶有C6C5；5奇有C6 解：分为三类：1奇4偶有C651432C5+C6C5+C6?236． 所以一共有C6例2．现有8名青年，其中有4名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻
译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？ 解：我们可以分为三类：
22 ① 让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有C4C3；
② 让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有C4C3； ③ 让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有C4C3． 所以一共有C4C3+C4C3+C4C3＝42种方法．
例3．6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？ 解：第一步从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有C6种方
法；第二步将5个“不同元素（书）”分给5个人有A5种方法．根据分步计数原
25理，一共有C6A5＝1800种方法．
522231323231 变题1：6本不同的书全部送给5人，有多少种不同的送书方法？ 变题2： 5本不同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？ ． 变题3： 5本相同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？ ．
556 答案：1．5?15625； 2．A6?720； 3．C6?6．
例4．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法： ⑴ 分给甲、乙、丙三人，每人两本； ⑵ 分为三份，每份两本；
⑶ 分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
⑷ 分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本； ⑸ 分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．
222解：⑴ 根据分步计数原理得到：C6C4C2?90种．
⑵ 分给甲、乙、丙三人，每人两本有C6C4C2种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名
222同学有A33种方法．根据分步计数原理可得：C62C42C22?xA33，所以
x?C6C4C2A33222?15．因此分为三份，每份两本一共有15种方法．
注：本题是分组中的“均匀分组”问题． ．．．．
123⑶ 这是“不均匀分组”问题，一共有C6C5C3?60种方法．
1233⑷ 在⑶的基础上在进行全排列，所以一共有C6C5C3A3?360种方法．
⑸ 可以分为三类情况：①“2、2、2型”即⑴中的分配情况，有C62C42C22?90种
1233方法；②“1、2、3型”即⑷中的分配情况，有C6C5C3A3?360种方法；③“1、1、
4型”，有注意： C6C2C1A3A224113?90种方法．所以一共有90+360+90＝540种方法．
非均匀 均匀 分给人（有序） C6C3C1?A3 C6C4C24113213分成堆（无序） C6C3C1222321 3222 3C6C4C2?A3 部分均匀 C6C2C1?A3A22 C6C2C1A22411 1）分书过程中要分清：是均匀的还是非均匀的；是有序的还是无序的. 2）特别是均匀的分法中要注意算法中的重复问题。
变：现有编号为1—6的6本不同的书，将它们平均分给3位同学，每人2本，其中甲不能拿编号为1的书，乙不能拿编号为2的书，则有多少种分配方案？（42）
222122分析：分类讨论：①甲拿编号为2的书C4C4C2②甲不拿编号为2的书C4C3C2. 三.回顾小结
四.计数原理作业8答案:
1.(1)甲、乙、丙三人值班，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出 种不同的值班表.
221211解法一：（排除法）C6C4?2C5C4?C4C3?42
解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有C4C4；另一类为甲不值周一，但值周六，有C4C3．所以一共有C4C4+C4C3＝42种方法．
(2)有A、B、C、D、E、F共6个集装箱，准备用甲、乙、丙三辆卡车运送，每辆卡车一次运两个.若卡车甲不能运A箱，卡车乙不能运B箱，此外无其他任何限制；要把这6个集装箱分配给这3辆卡车运送，则不同的分配方案的种数为 . 42
2．（1）有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是 .
解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三
211步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有C10C8C7?2520种.
12221222（2）甲、乙、丙、丁四个建筑公司承包8项工程，甲公司承包3项工程，乙公司承包1项，
122丙和丁各承包2项，则共有 种承包方式.(列式) C83C5C4C2?1680
3．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 .60种 4．从20名教师中选1人到A校听课，2人到B校听课，3人到C校听课，共有多少种不
123623同的选派方法？三位同学分别给出如下答案：甲：C20 ?C19?C17； 乙：C20?C6?C4；
152丙：C20?C19?C5．则正确说法的序号是 . ④
①仅甲正确; ②仅甲、乙正确; ③仅乙、丙正确 ; ④甲、乙、丙都正确.
5.一个团支部选4人为委员与选出正、副书记的方法数之比为51：4，则这个团支部共有 团员 人．
解：Cn4:An2?51:4， 得n=20．
6．12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有 种.(列式) C12C8C4
7. 200件产品中有3件是次品,现从中任意抽取5件,
2332其中至少有两件次品的抽法有 种.(列式) C3C197?C3C197
4448. 安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种.（用
数字作答）210
9．有4名男生，5名女生. (算出结果)
（1）从中选出5名代表，有多少种选法？
（2）从中选出5名代表，男生2名，女生3名且某女生必须在内有多少种选法？ （3）从中选出5名代表，男生不少于2名，有多少种选法？
（4）分成三个小组，每组依次有4、3、2人有多少种分组方法？ 答案：(1)126 (2)36 (3)105 (4)1260
10．（1）从1，2，3?，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？
解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做A??7,14,21,?98?共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做CIA?{1,2,3,?,100}共有86个元素；由此可知，从A中任取2个元素的取法有C14，从A中任取一个，又从CIA中任取一个共有C14C86，两种情
211形共符合要求的取法有C14?C14C86?1295种.
211（2）从1，2，3，?，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？
解：将I??1,2,3?,100?分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A??4,8,12,?100?；
能被4除余1的数集B??1,5,9,?97?，能被4除余2的数集C??2,6,?,98?，能被4除余3的数集D??3,7,11,?99?，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A中任取两个数符合要求；从B,D中各取一个数也符合要求；从C中任取两个数也符合要求；此外其它
2112取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有C25?C25C25?C25=1225种.
