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S?OEF?S?ODF?S△ODE=
综上得S△OEF＝
11OD?(x1?x2)?OD?x1?x2. 221OD?x1?x2,于是 2由｜OD｜＝2及③式，得S△OEF=
223?k21?k2.
若△OEF面积不小于22,即S?OEF?22,则有
223?k21?k2?22?k4?k2?0,解得?2?k?2. ④
综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为[-2，-1]∪（-1，1）∪（1，2）.
6.（湖南卷20）.（本小题满分13分）
若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与 x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时，点P（x,0） 存在无穷多条“相关弦”.给定x0>2.
（I）证明：点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同； (II) 试问：点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？
若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由. 解: （I）设AB为点P（x0,0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是
（x1,y1）、（x2,y2）（x1?x2）,则y21=4x1, y22=4x2, 两式相减得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）.因为x1?x2,所以y1+y2?0. 设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（xm, ym）,则 k=
y1?y242y.从而AB的垂直平分线l的方程为 y?ym??m(x?xm). ??x1?x2y1?y2ym2ym(x0?xm). 2又点P（x0,0）在直线l上，所以 ?ym??而ym?0,于是xm?x0?2.故点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直线的方程是y?ym?k(x?xm)，代入y?4x中， 整理得k2x2?2[k(ym?kxm)?2]x?(ym?kxm)2?0. （·）
2(ym?kxm)2. 则x1、x2是方程（·）的两个实根，且x1?x2?k2设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则
l2?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(1?k2)(x1?x2)2
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22?(1?k2)[(x1?x2)2?4xx1]2?4(1?k)(xm?xx1)2
?4(1?42)[x?m2ym(ym?2xm)2ym]42ym
2?(4?ym)(4xm?ym2)??ym4?4ym(2xm?1)?16xm22?4(xm?1)2?[ym2?2(xm?1)]2?4(x0?1)?[ym?2(x0?3)].222因为0 记l2=g(t)=-[t-2(x0-3)]2+4(x0-1)2. 2若x0>3,则2(x0-3) ?(0, 4x0-8),所以当t=2(x0-3),即ym=2(x0-3)时, l有最大值2(x0-1). 若2 当x0>3时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值 为2（x0-1）；当2< x0?3时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值. 7.（江西卷21）．（本小题满分12分） 设点P(x0,y0)在直线x?m(y??m,0?m?1)上，过点P作双曲线x?y?1的两条切线PA、PB，切点为A、B，定点M(（1）求证：三点A、M、B共线。 （2）过点A作直线x?y?0的垂线，垂足为N，试求?AMN的重心G所在曲线方程. 222证明：（1）设A(x1,y1),B(x2,y2)，由已知得到y1y2?0，且x1?y12?1，x2?y2?1， 221,0). m设切线PA的方程为：y?y1?k(x?x1)由??y?y1?k(x?x1)得 22?x?y?1yx?mNA(1?k2)x2?2k(y1?kx1)x?(y1?kx1)2?1?0 从而??4k(yy?k1?kx1)?4(1?k)(1?kx1)?4(1得k? 22222)?,解0OPMxx1 y1 B3eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！ 3eud教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！ 因此PA的方程为：y1y?x1x?1 同理PB的方程为：y2y?x2x?1 又P(m,y0)在PA、PB上，所以y1y0?mx1?1，y2y0?mx2?1 即点A(x1,y1),B(x2,y2)都在直线y0y?mx?1上 又M(1,0)也在直线y0y?mx?1上,所以三点A、M、B共线 m（2）垂线AN的方程为：y?y1??x?x1， ?y?y1??x?x1x?y1x1?y1,)， 由?得垂足N(122x?y?0?设重心G(x,y) 3?9x?3y??11x1?y1?mx?(x??)x??11???3m24所以? 解得? 1x?y1?y?(y?0?11)?9y?3x?1??y?m32?1??411122由x1?y12?1 可得(3x?3y?)(3x?3y?)?2即(x?)2?y2?为重心G所在 mm3m9曲线方程 8.（辽宁卷20）．（本小题满分12分） 在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，?3)，(0，3)的距离之和等于4，设点P的轨迹为 C，直线y?kx?1与C交于A，B两点． （Ⅰ）写出C的方程； ?????????（Ⅱ）若OAOB，求k的值； ????????（Ⅲ）若点A在第一象限，证明：当k>0时，恒有|OA|>|OB|． 20．本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分12分． 解： （Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，?3)，，(03)为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴b?22?(3)2?1， 3eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！ 3eud教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！ y2?1． ·故曲线C的方程为x?························································································· 3分 42（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足 ?2y2?1，?x? 4??y?kx?1.?消去y并整理得(k2?4)x2?2kx?3?0， 故x1?x2??????????若OA?OB，即x1x2?y1y2?0． 而y1y2?k2x1x2?k(x1?x2)?1， 2k3，xx??． ·············································································· 5分 12k2?4k2?433k22k2?2?2?1?0， 于是x1x2?y1y2??2k?4k?4k?42化简得?4k?1?0，所以k???????2?????22222（Ⅲ）OA?OB?x1?y1?(x2?y2) 1． ··················································································· 8分 2222 ?(x1?x2)?4(1?x12?1?x2) ??3(x1?x2)(x1?x2) ?6k(x1?x2)． 2k?43知x2?0，从而x1?x2?0．又k?0， 2k?4因为A在第一象限，故x1?0．由x1x2???????2?????2故OA?OB?0， ??????????即在题设条件下，恒有OA?OB． ················································································· 12分 9.（全国一21）．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．． 双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1????????????????????AB、OB成等差数列，且BF与FA同向． 的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知OA、（Ⅰ）求双曲线的离心率； （Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 3eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！
