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14．已知圆台的高为3，在轴截面中，母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．
[解析] 如图所示，作轴截面A1ABB1，设圆台的上、下底面半径和母线长分别为r，R，l，高为h.
作A1D⊥AB于点D， 则A1D＝3.
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又∵∠A1AB＝60°，∴AD＝A1D·， tan60°3
即R－r＝3×3，∴R－r＝3. 又∵∠BA1A＝90°，∴∠BA1D＝60°. ∴BD＝A1D·tan60°，即R＋r＝3×3， ∴R＋r＝33，∴R＝23，r＝3，而h＝3， 1
∴V圆台＝3πh(R2＋Rr＋r2)
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＝3π×3×[(23)2＋23×3＋(3)2] ＝21π.
所以圆台的体积为21π.
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15．已知△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．
[分析] 应用锥体的侧面积和体积的计算公式求解． 解题流程：
△ABCAC⊥BC旋转体是两底面半求表高BD，
――→――→――→求体积
的特征个同底圆锥径为CD面积AD
[解析] 如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB，垂足为D. 由AC＝3，BC＝4，AB＝5， 知AC2＋BC2＝AB2，则AC⊥BC. 所以BC·AC＝AB·CD， 1212所以CD＝5，记为r＝5，
那么△ABC以AB为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底12
面半径r＝5，母线长分别是AC＝3，BC＝4，
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所以S表面积＝πr·(AC＋BC)＝π×5×(3＋4)＝5π， 1212V＝3πr(AD＋BD)＝3πr·AB
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112248 ＝3π×(5)×5＝5π.
[特别提醒] 求旋转体的有关问题常需要画出其轴截面，将空间问题转化为平面问题来解决．对于与旋转体有关的组合体问题，要弄清楚它是由哪些简单几何体组成的，然后根据条件分清各个简单几何体底面半径及母线长，再分别代入公式求各自的表面积或体积．
16．(2011·浙江高考)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，求此几何体的体积．
[解析] 该空间几何体的上部分是底面边长为4，高为2的正四棱柱，体积为16×2＝32；下部分是上底面边长为4，下底面边长为1
8，高为3的正四棱台，体积为3×(16＋4×8＋64)×3＝112.故该空间几何体的体积为144.
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