第二章前6节习题解答 P35 §1
1．全体整数集合对于普通减法来说是不是一个群？
解 ∵减法不满足结合律，∴全体整数对于减法不构成群。 2．举出一个有两个元的群例子。
解 {1，?1}对于普通乘法构成一个群。 {[0]，[1]}对于运算[i]?[j]?[i?j]构成群。 {[1]，[2]}对于运算[i][j]?[ij]构成群。
它们都是两个元的群。
3. 设G是一个非空集合，“?”是一个运算。若①“?”运算封闭；②结合律成立；③G中存在
?1?1?G，有aaR?eR。则G是一个群。 右单位元eR：?a?G，有aeR?a；④?a?G，?aR证(仿照群第二定义的证明)
?1?1?aRa?eR。 先证aaR?1?1?G，∴?a'?G，使aRa'?eR， ∵aR?1?1?1?1?1?1?1?1?1a?(aRa)eR?(aRa)(aRa')?aR(aaR)a'?aReRa'?aRa'?eR，?aRa?eR。 ∴aR?1?1?aRa?eR。 ∴aaR再证eRa?aeR?a，即eR是单位元。
?1?1?1?1?aRa?eR，∴eRa?(aaR)a?a(aRa)?aeR?a?eRa?a。 ?a?G，已证aaR?1?1?1?aRa?e得到aR∴eRa?aeR?a。即eR就是单位元e。再由aaR就是a?1。
这说明：G中有单位元， ?a?G都有逆元a?1。
∴G是一个群。
P38 §2
1. 若群G的每一个元都适合方程x2?e，那么G是可交换的。 证∵ ?x?G，x2?e?x?x?1。 ∴?a,b?G?a?a?1,b?b?1。 ∴ab?a?1b?1?(ba)?1?ba。
∴ab?ba，即G是可换群。
2．在一个有限群中阶大于2的元的个数一定是偶数。
证 令a是有限群G中一个阶?2的元，∵互逆元是同阶的，∴a?1的阶也大于2，且a?1?a (若a?1?a?a2?e,与a的阶?2矛盾)。
设G中还有阶?2的元b，且b?a,b?a?1，∴b?1的阶也大于2，且b?1?b。
1
我们还可以得出b?1?a，b?1?a?1。
这是因为若b?1?a?b?a?1，矛盾；若b?1?a?1?b?a，矛盾。 所以在有限群G中，阶?2的元成对出现，因此命题成立。
3. 假定G是一个阶是偶数的有限群，在G中阶等于2的元的个数一定是奇数。 证 由上题知阶?2的元的个数是偶数。
∵G是偶数，∴ 阶?2的元也必是偶数。但阶是1的元只有单位元e，∴阶等于2的元的个数为奇数。
4. 在有限群G中,每一元素具有一有限阶。
证?a?G,a?e，a,a2,a3,....,a|G|,a|G|?1?G，根据鸽巢原理，这|G|?1个幂至少有两个相同。不妨设ai?aj(1?i?j?|G|?1)，那么aj?i?e。所以命题成立。 P44§4
1. 假定两个群G与G的一个同态之下，
a?a，
那么a与a的阶是否相同？ 解 不一定。
取G?{e,o}，运算为e?e?e，显然G?{e,o}是一个群。取整数加群G?{Z，?}。 建立?:G?G，其中?(n)?e,?n?Z。
显然?是G到G的同态。G的单位元0是一阶元，它的象是一阶元e，G的除0外的其他元都是无穷阶元，它们的象也是一阶元e。
思考：若假定两个群G与G的一个同构?之下，
a?a，
那么a与a的阶是否相同？ 解 肯定相同。
?(an)?[?(a)]n?a①若o(a)?n???，即a?e，∵?是同构，∴
?(e)?enn?n???a?e，∴a的阶也??是有限，记o(a)?m，∴m?n。
?1?1mm???(a)?[?(a)]?a又∵?是G到G的一个同构，且a?e，∴∴n?m。 ?am?e，??1??(e)?e??1mm 2
