命题及其关系、充分条件与必要条件
考试要求 1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.
知 识 梳 理
1.命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题. 2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.
②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系. 3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 [常用结论与微点提醒] 1.否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只
pp?q且qpp q且q?p p?q q且q p 否定命题的结论.
2.区别A是B的充分不必要条件(A?B且B且A
B)两者的不同.
A)，与A的充分不必要条件是B(B?A
3.A是B的充分不必要条件?綈B是綈A的充分不必要条件.
诊 断 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)“x2＋2x－3<0”是命题.( )
(2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.( )
(3)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.( ) (4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.( )
解析 (1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的. 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2.(新教材必修第一册P34复习参考题T5改编)设a，b∈R且ab≠0，则ab>1是1
a>b的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
1
解析 若“ab>1”，当a＝－2，b＝－1时，不能得到“a>b”， 1
若“a>b”，例如当a＝1，b＝－1时，不能得到“ab>1”， 1
故“ab>1”是“a>b”的既不充分也不必要条件. 答案 D
π
3.(老教材选修1－1P6练习引申)命题“若α＝4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) π
A.若α≠4，则tan α≠1
π
B.若α＝4，则tan α≠1
π
C.若tan α≠1，则α≠4 π
D.若tan α≠1，则α＝4
解析 命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，所以该命题的逆否π
命题是“若tan α≠1，则α≠4”. 答案 C
4.(2017·北京卷)能够说明“设a，b，c是任意实数.若a>b>c，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________. 解析 a>b>c，取a＝－2，b＝－4，c＝－5， 则a＋b＝－6 答案 －2，－4，－5(答案不唯一) 5.(2019·郑州模拟)已知p：x>a是q：2 解析 由已知，可得{x|2 6.(2020·青岛二中检测)直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________. 解析 直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于解得－1 考点一 命题及其关系 【例1】 (1)下列说法正确的是( ) A.“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a>1，则a2≤1” B.“若am2 D.“若sin α≠2，则α≠6”是真命题 (2)(2018·北京卷)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2] |1－0－k| <2，2 {x|x>a}，∴a≤2. 上是增函数”为假命题的一个函数是________. 解析 (1)对于选项A，“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，A错； 对于B项，若“am2 对于C项，由指数函数的图象知，?x∈(0，＋∞)，都有4x>3x，C错； π1 对于D项，原命题的逆否命题为“若α＝6，则sin α＝2”是真命题，故原命题是真命题. (2)根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0，2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f(x)min＝f(0). 0，x＝0，?? 答案 (1)D (2)f(x)＝sin x，x∈[0，2](答案不唯一 ，再如f(x)＝?1) ，0 2.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例. 3.根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断. 【训练1】 (1)(2020·石家庄模拟)下列说法中正确的是( ) A.若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0 B.若数列{an}为常数列，则{an}既是等差数列也是等比数列 C.在△ABC中，A>B是sin A>sin B的充要条件 D.命题“若 an＋an＋1 * (2)(2019·江门模拟)命题“在空间中，若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线”的逆否命题是________. 1 解析 (1)A错，f(x)＝x为奇函数，但f(0)无意义； B错，an＝0为常数列，但{an}不是等比数列；
