2007.1离散数学试卷B

③ 求幺元 2分

对于?a?R，

a * 0 = a + 0 + 0 = a 0 * a = 0 + a + 0 = a

∴0是幺元。

④ 求逆元，对于?x?R 3分 x*?x2x2222x?1?x??x2x?1??2x?1?2x?x?x?2x2x?1?0

?x2?2x2 ?x?2x22x?1*x??x2x?1?x??2x2x?1??x2x?1?0

∴

?x2x?1与x互为逆元

∴是群。

⑤对于?x, y?R， 2分x * y = x + y + 2xy

y * x = y + x+ 2yx = x + y +2xy ∴ x * y = y * x

∴是群可交换群

七、(10分)

最优树如图所示： 6分

最优树的权值为： 4分 W=(7+8)×3＋(9+12+16)×2=45+74=119

八、(10分)

解：

前提：(?x) (P(x) ? (Q(x) ∨ R(x)))，(?x) (P(x) ? S(x))，

P(a) ∧ ┐Q(a) 2结论：?( S(x) ∧ R(x)) 1分 构造推理证明如下：

(1) P(a) ∧ ┐Q(a) P

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分 (2) (?x)P(x) ? S(x) P (3) P(a) ? S(a) US(2) (4) P(a) T(1) (5) S(a) T(3)(4) (6) (?x) (P(x) ? (Q(x) ∨ R(x))) P (7) P(a) ? (Q(a) ∨ R(a)) US(6) (8) Q(a) ∨ R(a) T(4)(7) (9) ┐Q(a) ? R(a) T(8) (10) ┐Q(a) T(1)

(11) R(a) T(9)(10) (12) S(a) ∧R(a) T(5)(11) (13) ?( S(x) ∧ R(x)) EG(12) 上面的证明过程并不唯一。

在证明中，推理过程正确：4分；推理规则使用正确：3分。

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