场强度，则有
E?E??E-???2??0?11????i?xr?x?0??
?2??0r0x(r0?x)i（2）设F?、F?分别表示正、负带电导线单位长度所受的电场力，则有
F???F???22??0r0i2
iF????F????2??0r0
显然有F???F?，相互作用力大小相等，方向相反，两导线相互吸引。
题7.9：如图所示，电荷?Q分别均匀分布在两个半径为R的半细圆环上。求：（1）带电圆环偶极矩的大小和方向；（2）等效正、负电荷中心的位置。
题7.9分析：（1）电荷分布呈轴对称，将细环分割成长度均为ds的线元，带正电荷的上半圆环线元与带负电荷的下半圆环对称位置上的线元构成一元电偶极子，细圆环总的偶极矩等于各元电偶极矩之和，有
p??dpj
（2）由于正、负电荷分别对称分布在y轴两侧，我们设想在y轴上能找到一对假想点，如果该带电环对外激发的电场可以被这一对假想点上等量的点电荷所激发的电场代替，这对假想点就分别称作正、负等效电荷中心。等效正负电荷中心一定在y轴上并对中心O对称。由电偶极矩p可求得正、负等效电荷中心的间距，并由对称性求得正、负电荷中心。 解：（1）将圆环沿y轴方向分割为一组相互平行的元电偶极子，每一元电偶极子带电
?dq??Q?Rds??Q?d?
Rcos?d?jdp?2Rcos??dqj?2Q?
则带电圆环的电偶极矩 p???2??2dp?4Q?Rj
（2）等效正、负电荷中心间距为 l?pQ?4R?
??2R????根据对称性正、负电荷中心在y轴上，所以其坐标分别为?0, 也可以借助几何中心的定义，得
x?1和?0,???2R????。
?R?1?2??2Rsin??Rdθ?0 Rsin??Rdθ??2Ry???R??2??2?
即正、负电荷中心分别在y轴上距中心 O为
2R?处
题7.10：设匀强电场的电场强度E与半径为R的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量。
题7.10分析方法1：由电场强度通量的定义，对半球面S求积分，即ΦS??E?dS。
S方法2：作半径为R的平面S?与半球面S一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理
?SE?dS球面S的电场强度通量。因而
Φ??1?0?q?0
这表明穿过闭合曲面的净通量为零，穿入平面S?的电场强度通量在数值上等于穿出半
?E?dSS???S?E?dS解1：取球坐标系，电场强度矢量和面元在球坐标系中可表示为
E?E(cos?e??sin?e??sin?er)dS?Rsin?d?d?er2
sin?sin?d?d??0Φ???E?dS??SS2ER2??0ER22sin?d??sin?d?
??RE解2：由于闭合曲面内无电荷分布，根据高斯定理，有
Φ??E?dSS???S?E?dS
依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元dS的方向，
题7.11：边长为a的立方体如图所示，其表面分别平行于xy、yz和zx平面，立方体的一个顶点为坐标原点。现将立方体置于电场强度E?(E1?kx)i?E2j的非均匀电场中，求电场对立
Φ??E??R?cos???RE22方体各表面及整个立方体表面的电场强度通量。
题7.11解：参见图。由题意E与Oxy面平行，所以对任何与Oxy面平行的立方体表面。电场强度的通量为零。即ΦOABC?ΦDEFG?0。而
ΦABGF??E?dS??[(E21?kx)i?E2j]?[dSj]
?E2a考虑到面CDEO与面ABGF的外法线方向相反，且该两面的电场分布相同，故有
ΦCDEO??ΦABGF??E2a2
i?E2j]?(?dSi)??E1a2同理ΦAOEFΦBCDG???E?dS???[E11
2?E?dS?[(E?ka)i?E2j]?(dSi)?(E1?ka)a
因此，整个立方体表面的电场强度通量
Φ??Φ?ka
3题7.12：地球周围的大气犹如一部大电机，由于雷雨云和大气气流的作用，在晴天区域，大气电离层总是带有大量的正电荷，云层下地球表面必然带有负电荷。晴天大气电场平均电场强度约为120 V?m，方向指向地面。试求地球表面单位面积所带的电荷（以每平方厘米的电子数表示）。 题7.11分析：考虑到地球表面的电场强度指向地球球心，在大气层中取与地球同心的球面为高斯面，利用高斯定理可求得高斯面内的净电荷。
解：在大气层临近地球表面处取与地球表面同心的球面为高斯面，其半径R?RE（RE为地球平均半径）。由高斯定理
1??
?SE?dS??E4?RE?2?0?q
地球表面电荷面密度
???q4?RE???0E??1.06?102?9C?m?2
单位面积额外电子数w
n??(?e)?6.63?105cm?2
题7.13：设在半径为R的球体内，其电荷为对称分布，电荷体密度为
??kr??00?r?Rr?R
k为一常量。试用高斯定理求电场强度E与r的函数关系。（你能用电场强度叠加原理求解这个问题吗?）
题7.13分析：通常有两种处理方法：（1）利用高斯定理求球内外的电场分布。由题意知电荷呈球对称分布，因而电场分布也是球对称，选择与带电球体同心的球面为高斯面，在球面上电场强度大小为常量，且方向垂直于球面，因而有
?E?dSS?E?4?r2
?1根据高斯定律?SE?dS?0??dV，可解得电场强度的分布
（2）利用带电球壳电场叠加的方法求球内外的电场分布。将带电球分割成无数个同心带电球壳，球壳带电荷为dq壳外激发的电场
dE????4?r?dr?，每个带电球壳在壳内激发的电场
2dE = 0，而在球
?dV4??0r2er
由电场叠加可解得带电球体内外的电场分布 E(r)?E(r)???r0dE0?r?R
R0dEr?R
解1：因电荷分布和电场分布均为球对称，球面上各点电场强度的大小为常量，由高斯定律
?SE?dS?1?0??dV得球体内(0?r?R)
2
E(r)?krE(r)4?r2?1?0?r0kr4?rdr?2?k?0r4
4?0era
球体外（r＞R）
E(r)?E(r)?4?r422?1?0?R0kr4?rdr?2?k?0R4
kR4?0rer
解2：将带电球分割成球壳，球壳带电
dq??dV?kr?4?r?dr?
2由上述分析，球体内(0?r?R)
E(r)??r014??0kr??4?r?dr?r22er?kr24?0er
球体外（r＞R）
E(r)??R014??0kr??4?r?dr?r22er?kR424?0rer
题7.14：一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为?，在平板中部有一半径为r的小圆孔。求圆孔中心轴线上与平板相距为x的一点P的电场强度。
题7.14分析：用补偿法求解
利用高斯定理求解电场强度只适用于几种非常特殊的对称性电场。本题的电场分布虽然不具有这样的对称性，但可以利用具有对称性的无限大带电平面和带电圆盘的电场叠加，求出电场的分布。
若把小圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成、挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷（电荷面密度?????）的圆盘。这样中心轴线上的电场强度等效于平板和圆盘各自独立在该处激发的电场的矢量和。 解：在带电平面附近
E1??2?0en
en为沿平面外法线的单位矢量；圆盘激发的电场
E2??
2?0?????1?xx?r22??e?n?
它们的合电场强度为
E?E1?E2??2?02xx?r2en。
在圆孔中心处x = 0，则 E = 0 在距离圆孔较远时x>>r，则
