两边进行体积分,得到
?V??Edv??4?G??dv
V依据高斯公式,散度的体积分等于场在表面上的面积分
?E?ds??4?GM
S其中M为圆柱体中的所有质量,把方程的左端写成顶,底和侧面的积分
?SxE?ds??E?ds??E?ds??4?GM
SsSc令圆柱体的高趋于0,则侧面的积分为0。设圆柱体的半径足够小，此时有
Es?Ss?Ex?Sx??4?GM
因上下两个面的方向相反，且大小相等
Es?Ss?Ex?Ss??4?GMEsnSs?ExnSs??4?GM方程两边同除以面积
M??4?G?s S2、 写出麦克斯韦方程组的微分形式并作简要说明其中各个物理量和各个方程的物理含义。（10分）
Esn?Exn??4?G?B???E????t???D ???H?J??t????D??????B?0其中E：电场强度，H：磁场强度 ，D：电位移矢量，B：磁感应强度，J: 电流密度矢量。ρ: 电荷密度。每个物理量是时空变量的函数,如E(x,y,z,t)。四个方程分别是法拉第电磁感应定律、安培环路定律、库伦定律、磁通连续性定律。整个方程组表示了电磁场在时空中的运动变化规律以及场源关系。
2、 由麦克斯韦方程组导出电流连续性方程??J??
??。（10分） ?t 5
?B???E????t???D ???H?J??t????D??????B?0
3、从库仑定律??D??推导万有库仑公式F?1q1q2（10分） 24??0r解：假设在空间中有一个质量为M的质点，以质点为圆心，R为半径作一个球体V，球面记为S。在球体内对方程??D??两边进行体积分可得到
???Ddv???dv，根据矢量场的高斯定理，有
Vv?D?dS???dv。依据对称性，并注意到方程右边
Sv表示球体内总的质量，可以得到：D?MR0，4?R2其中R0表示从质点M到场点P的单位矢量。将方
1程D??E和???代入上式，得到质量为M的
4?G质点在距其为R的一点处的引力场强度为：
图1 积分空间区域 E?MMR??GR0 0224?R?gR其中负号表示引力场强度的方向由P点指向质点M，这就是万有引力公式
3、从引力场的散度方程??E??4?G?推导万有引力公式F?Gm1m2（10分） r2解：
假设在空间中M点处有一个质量为m质点。以M点为圆心，R为半径作一个球体V，球面记为S。在球体内对方程
??E??4?G?
两边进行体积分：
6
?V??Edv??4?G??dv
V根据矢量场的高斯定理：任何一个矢量场的散度在一个空间区域的体积分该矢量场在边界的面积分，有
?E?dS??4?G?SV?dv
依据对称性，并注意到方程右边表示球体内总的质量，可以得到：
?4?GmE?R0 24?R其中R0表示从M点到P点的单位矢量。
如果在P点放一个质量为m2的质点，该质点受到的作用力为：
F?m2E??Gmm2R0 2R不考虑方向时即得证。
4、在无限大接地导电板上方h处有一电量为q的点电荷,上半空间中均匀介质的介电常数为ε(如图)，求上半空间中的电位分布。（10分）
qzh?x 导体 解：以x轴所在的平面为对称面，在其下方与点电荷对称的位置放上一个电量为-q的点电荷，如下图所示。上半空间的泊松方程和边界条件都未改变，依据唯一性定理，上半空间中任意一点的解为：
?(x,y,z)?11?)4??RR'
q11?(?)(z?0)2224??x2?y2?(z?h)2x?y?(z?h)(q
q?zRh?R'hP(x,y,z)x
?q
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5、由麦克斯韦方程组推导无源、均匀、线性、各向同性的无耗媒质空间中磁场强度H的波动方程。（10分）
5、从麦克斯韦方程组推导无源、均匀、线性、各向同性的无耗媒质空间中电场强度E的波动方程。（10分） 6、计算面电荷密度为?s的无限大均匀带电面外任意一点电场强度。 6、计算线电荷密度为?l的无限长均匀带电线外任意一点电场强度。
7、设大地的电阻率为100欧姆米。频率分别为10000、100、1和0.01赫兹的平面电磁波的在大地中传播时，其穿透深度分别是多少米。（10分） 7、周期分别为10000、100、1和0.01秒的平面电磁波的在电阻率为10欧姆米。大地中传播时，其穿透深度分别是多少米。（10分）
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