第二章
2．1.2 系统抽样
[学习目标] 1.理解和掌握系统抽样.2.会用系统抽样从总体中抽取样本.3.能用系统抽样解决实际问题．
知识点一 系统抽样的概念
在抽样中，当总体中个体数较大时，可将总体分为均衡的几个部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这样的抽样方法叫做系统抽样． 系统抽样具有如下特点：
项目 个体数目 抽取方式 概率特征 知识点二 系统抽样的步骤 一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本,我们可以按下列步骤进行系统抽样：
(1)编号：先将总体的N个个体编号．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等； NN(2)分段：确定分段间隔k，对编号进行分段．当(n是样本容量)是整数时，取k＝；
nn(3)确定第一个编号：在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；
(4)成样：按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本． 知识点三 系统抽样与简单随机抽样的区别与联系
简单随机抽样 系统抽样 ①当总体中的个体数较大时，用系统抽样更①操作简单易行； 区别 ②抽样的结果与个体编号无关 易实施，更节约成本； ②系统抽样的效果与个体的编号有关，如果编号的特征随编号呈周期性变化，可能使样本的代表性很差 联系 系统抽样在总体中的个体均匀分段后，在第一段进行抽样时，采用的是简单随机抽样 特点 总体中个体无较大差异且个体数目较大 总体分成均衡的若干部分，分段间隔相等，在第一段内用简单随机抽样确定起始编号，其余依次加上间隔的整数倍 每个个体被抽到的可能性相同，是等可能抽样
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题型一 对系统抽样概念的理解
例1 下列抽样中，最适宜用系统抽样的是( )
A．某市的4个区共有2 000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200名入样 B．从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取5个入样 C．从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取200个入样 D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样 答案 C
解析 根据系统抽样的定义和特点判断，A项中的总体有明显的层次，不适宜用系统抽样；B项中样本容量很小，适合用随机数法；D项中总体容量很小，适合用抽签法．
反思与感悟 系统抽样适用于个体数较大的总体，判断一种抽样是否为系统抽样，首先看在抽样前是否知道总体是由什么构成的．抽样的方法能否保证将总体分成几个均衡的部分，并保证每个个体等可能入样． 跟踪训练1 下列抽样方法不是系统抽样的是( )
A．从标有1～15号的15个球中，任选三个作样本，按从小号到大号的顺序，随机选起点i0，以后选i0＋5，i0＋10(超过15则从1再数起)号入选
B．工厂生产的产品用传送带将产品送入包装车间前，在一天时间内检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品进行检验
C．做某项市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查，直到达到事先规定的调查人数为止 D．电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈 答案 C
解析 A编号间隔相同，B时间间隔相同，D相邻两排座位号的间隔相同，均满足系统抽样的特征．只有C项无明显的系统抽样的特征． 题型二 系统抽样的应用
例2 为了了解某地区今年高一学生期末考试数学学科的成绩，拟从参加考试的15 000名学生的数学成绩中抽取容量为150的样本．请用系统抽样写出抽取过程． 解 (1)对全体学生的数学成绩进行编号：1,2,3，…，15000.
(2)分段：由于样本容量与总体容量的比是1∶100，所以我们将总体平均分为150个部分，其中每一部分包含100个个体．
(3)在第一部分即1号到100号用简单随机抽样抽取一个号码，比如是56.
(4)以56作为起始数，然后顺次抽取156,256,356，…，14956，这样就得到一个容量为150的样本． N
反思与感悟 当总体容量能被样本容量整除时，分段间隔k＝；当用系统抽样抽取样本时，通常是将起始n数l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．
跟踪训练2 现有60瓶牛奶，编号为1至60，若从中抽取6瓶检验，用系统抽样方法确定所抽取的编号可能为( )
A．3,13,23,33,43,53
B．2,14,26,38,42,56
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C．5,8,31,36,48,54 答案 A
D．5,10,15,20,25,30
解析 因为60瓶牛奶分别编号为1至60，所以把它们依次分成6组，每组10瓶，要从中抽取6瓶检验，用系统抽样方法进行抽样．若在第一组抽取的编号为n(1≤n≤10)，则所抽取的编号应为n，n＋10，…，n＋50.对照4个选项，只有A项符合系统抽样．系统抽样的显著特点之一就是“等距抽样”．因此，对于本60
题只要求出抽样的间隔k＝＝10，就可判断结果．
6题型三 系统抽样的设计
例3 某校高中二年级有253名学生，为了了解他们的视力情况，准备按1∶5的比例抽取一个样本，试用系统抽样方法进行抽取，并写出过程．
解 (1)先把这253名学生编号000,001，…，252；
(2)用随机数法任取出3个号，从总体中剔除与这三个号对应的学生； (3)把余下的250名学生重新编号1,2,3，…，250；
(4)分段．取分段间隔k＝5，将总体均分成50段，每段含5名学生； (5)从第一段即1～5号中用简单随机抽样抽取一个号作为起始号，如l；
(6)从后面各段中依次取出l＋5，l＋10，l＋15，…，l＋245这49个号．这样就按1∶5的比例抽取了一个样本容量为50的样本．
反思与感悟 1.当总体容量不能被样本容量整除时，要先从总体中随机剔除整除后余数个个体且必须是随机的，即每个个体被剔除的机会均等．剔除个体后使总体中剩余的总体容量能被样本容量整除.2.剔除个体后需对样本重新编号.3.起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了．
跟踪训练3 为了了解参加某次考试的2 607名学生的成绩，决定用系统抽样的方法抽取一个容量为260的样本．请根据所学的知识写出抽样过程． 解 按下列步骤获取样本：
(1)将每一名学生编号，由0001到2607； (2)利用随机数法从总体中剔除7人；
(3)将剩下的2 600名学生重新编号(分别为0001,0002，…，2600)，并分成260段；
(4)在第一段0001,0002，…，0010这十个编号中用简单随机抽样法抽取一个号码(如0003)作为起始号码； (5)将编号为0003,0013,0023，…，2593的个体抽出，即组成样本．
系统抽样的应用
例4 要从参加全运会某些项目比赛的1 013名运动员中抽取100名进行兴奋剂检查，采用何种抽样方法较好？写出过程．
错解 应采用系统抽样．过程如下：
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先将1 013名运动员随机编号为1,2,3，…，1013，将这1 013个号码分成100段，其中前87段每段10人，后13段每段11人，在第一段中用简单随机抽样确定起始编号L，将会得到编号L，L＋10，L＋20，…，L＋990的运动员抽出，从而获得整体样本．
1
错解分析 错误的根本原因在于前87段的个体中，每个个体被抽取的可能性为，而在后13段中，每个
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个体被抽取的可能性为，这是不公平的．
11正解 应采用系统抽样．过程如下：
第一步，将1 013名运动员随机编号为0001,0002,0003，…，1013； 第二步，随机地从总体中抽取13个号码，并将编号相对应的运动员剔除；
第三步，将剩下的1 000名运动员重新编号为1,2,3，…，1000，分成100段，每段10个号码，在第一段十个编号中用简单随机抽样确定第一个个体编号为L，则将编号为L，L＋10，L＋20，…，L＋990的运动员抽出，组成样本．
1．为了解1 200名学生对学校食堂饭菜的意见，打算从中抽取一个样本容量为40的样本，考虑采用系统抽样，则分段间隔k为( ) A．10 C．30 答案 C
1 200
解析 分段间隔k＝＝30.
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2．为了了解参加某次知识竞赛的1 252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么从总体中应随机剔除的个体数目为( ) A．2 C．4 答案 A
解析 因为1 252＝50×25＋2，所以应随机剔除2个个体，故选A.
3．要从160名学生中抽取容量为20的样本，用系统抽样法将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按抽签方法确定的号码是( ) A．7 C．4 答案 B
解析 由系统抽样知第一组确定的号码是125－15×8＝5.
4．某公司有52名员工，要从中抽取10名员工参加国庆联欢活动，若采用系统抽样，则该公司每个员工被抽到的机会是________．
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B．5 D．3 B．3 D．5 B．20 D．40
