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练习5
1．如图1-18，D、E分别是等边三角形ABC两边BC、AC上的点，且AE=CD，连结BE、?AD交于点P．过B作BQ⊥AD于Q，请说明BP是PQ的2倍．
1-18
2．如图1-19，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE，那么CE?是BD的几分之几？
1-19
3．已知：如图 1-20，在△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们相交于 H，且AE=BE，?那么AH是BD的________倍．
1-20
答案:
∴（180°-x）=180°-8x．
1
练习1 1．解：设∠DEC=x，
∵AD=AE，
2
∴x=12°，故∠ACB=36°．
3．解：如图，作△AED≌△BAC，连结EC．
则∠AED=∠BAC=20°，
∴∠ADE=∠AED．
∴x=∠AEC-∠ADE=（∠B+30°）-∠ADE=（∠B+30°）
-（∠C+x）
∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80°．
∴∠CAE=∠DAE-∠BAC=80°-20°=60°． 又∵AB=AE=AC，
∴△ACE是正三角形，AE=EC=ED．
∵AB=AC，∴∠B=∠C
∴2x=30°，x=15°，故选C．
2．解：∵AB=BB′，
∴∠BAB′=∠BB′A，∠B′BD=∠BAB′+∠BB′A=2∠
∴∠DEC=∠AEC-∠AED=40°． ∴∠EDC=（180°-∠DEC）=70°．
1
BAB′．
又∠CBB′=∠DBB′，
∴∠ACB=∠CBB′+∠CB′B=3∠CAB．
设∠CAB=x，∴∠ACB=3x，∠CBD=4x，又AA′=AB， ∴∠A′=∠ABA′=∠CBD=4x． ∵AA′平分∠EAB． ∴∠A′AB=
2
∴∠BDC=180°-（∠ADE+∠EDC）=30°．
练习2
1．解：∵AB=AC，∴∠B=∠C．
∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠
1
2
FEC=90°．
（180°-x）．
在Rt△DEB与Rt△FEC中，
又∠A′AB=180°-（∠A′+∠ABA′）=180°-8x
∵∠B=∠C，∴∠BDE=∠F． ∵∠FDA=∠BDE，
∴∠FDA=∠F，故AD=AF．
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2．解：以 AD为边在△ADB内作等边△ADE，连结BE．
则∠1=∠2=∠3=60°． ∴ AE=ED=AD． ∵∠DAC=15°，
∴∠EAB=90°-∠1-∠DAC=15°． ∴∠DAC=∠EAB． 又∵DA=AE，AB=AC， ∴△EAB≌△DAC． ∴∠EBA=∠DCA=15°．
∴∠BEA=180°-∠EBA-∠EAB=150°． ∵∠BED=360°-∠BEA-∠AED=150°． ∴∠BEA=∠BED． 又∵EB=EB，AE=ED．
∴△BEA≌△BED，∴BD=BA． 故选择C．
3．解：延长 AD到G，使DG=AD，连结BG，
∵ BD=DC，∠BDG=∠CDA， AD=DG，
∴△ADC≌△BDE．
∴ AC=BG，∠G=∠EAF，
∴∠NCM=∠MCD+∠NCD=60°． ∴△CMN是等边三角形．
∵△ABC与△CDP均为等边三角形， ∴ AC=BC，CD=CP，
∠ACB=∠DCP=60°．∴∠1=∠2，
∴△ADC≌△BPC．∴∠CBP=∠DAC=60°．
3．解：连结 BP．
∵∠RBP=∠RBA+∠ABC+∠CBP=60° ∴R、B、P三点共线． 又
+60°+60°=180°，
∵∠RAQ=∠RAB+∠BAC+∠CAQ=60°+60°+60°=180°，
∴ R、A、Q三点共
线．而AQ=AE=AD=BP，
∴ RQ=RA+AQ=RB+BP=RP．
又∠R=60°，∴△PQR是等边三角形．
故以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形．
练习4
1．解：∵S△ACB=S△APB+S△APC，
即
又∵BE=AC，∴BE=BG．
∴ ∠G=∠BED，而∠BED=∠ AEF，
∴∠AEF=∠AFE，故FA=FE．
练习3
1．解：∵△ABC是等边三角形，
∴ AB=BC=CA
∠ ABC=∠ACB=∠BAC=60°．又∵BD=AF=CE，
1 2
AB·CF=AB·PD+AB·PE．
1 2
1 2
∴ CF=PD+PE．
2．解：∵AC=AB，∠CAE=∠BAD，AE=AD，
∴△AEC≌△ADB．
∴ CE=BD．
又∵BD=BC+CD=AC+CD． ∴ CE=AC+CD．
∴∠ABE=60°-∠EBC=∠CBD，AB=BC，BE=BD． ∴△ABE≌△CBD．
∴ AE=CD．又∵AB=AC，
∴△ABD≌△BCE ∴∠1=∠2=∠3． ∴∠BAC-∠1=∠
ACB-∠3．
即∠CAK=∠ABG= 又∵AB=BC=CA，
∴△ABG≌△BCH≌△CAK． ∴∠AGB=∠BHC=∠CKA． 即∠KGH=∠GHK=∠GKH． 故△GKH是等边三角形．
≌△CAF．
3．解：∵△ABC和△BDE均为等边三角形．
ABC-∠2=∠
∠BCH．
∴ AD=AC+CD=AB+AE．
练习5
1．解：∵∠CAB=∠C=60°，AE=CD，AB=AC，∴△ADC≌△
BEA，∴∠CAD=∠EBA．
又∠BPQ=∠PAB+∠PBA=∠PAB+∠CAD=60°， ∴在Rt△PQB中，∠PBQ=30°， ∴ BP=2PQ．
2．解：延长 CE交BA的延长线于 F，
∵∠1=∠2，∠BEC=∠BEF=90°，BE=BE， ∴△BEC≌△BEF． ∴ BC=BF，CE=EF， ∴ CE=CF．
2．解：由于△ ABC与△CDE均为等边三角形， A、C、E三 点共线，得知：
CA=CB，CD=CE，∠ACD=∠BCE，故△ACD≌△BCE．
∴∠ADC=∠BEC，AD=BE． 又 DM=AD，EN=BE，
11
1
2
2 2
∴△DCM≌△ECN．
∴∠DCM=∠ECN，CM=CN． 又∠ECN+∠NCD=∠ECD=60°，
又∵∠2+∠3=90°，∠ ∴∠2=∠5，且AB=AC． ∴ Rt△AFC≌Rt△ADB．
4+∠5=90°，∠3=∠4，
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∴ CF=BD．故CE=BD．
1 2
3．解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴ BD=DC，∠DAC+∠C=90°． 又∵BE⊥AC，
∴∠EBC+∠C=90°．∴∠DAC=∠E
BC．
在△AEH和△BEC中，∵∠DAC=∠EBC，AE=BE．∠AEH=∠BEC=90°，
∴△AEH≌△BEC，∴AH=BC．又BC=2BD，故AH=2BD．
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