三容水箱液位串级控制系统的设计
2 建立被控对象模型
2.1 试验法建模
过程控制系统的品质是有组成系统的各个环节的结构及其特性所决定的。过程的数学模型是设计控制系统，确定控制方案，分析质量指标，整定调节器参数和仿真实验等的重要依据。过程的数学模型有两种，一种是非参数模型，例如阶跃响应曲线，脉冲响应曲线和频率响应曲线，是用曲线表示的。二是参数模型，例如微分方程、传递函数、脉冲响应函数，状态方程和差分方程或函数表示的。而建立过程数学模型的基本方法，一般来说有机理分析法和试验法两种。机理分析法建模又可被称为数学分析法建模和理论建模。对于一些简单的被控过程建模可采用此法。但是，由于很多工业过程其内部机理较复杂，对某些物理，化学过程目前尚不完全清楚，所以对这些较复杂过程的建模较为困难，再加之工业过程非线性因素的存在和一些不合理的人为假设，使得机理法建模在对较为复杂的过程建模时显出弊端。此时，工程上普遍采用试验法建模。顾名思义，试验法建模的主要特点是不需要深入了解过程的机理。只要设计一个合理的实验，去获得过程所包含的充足的信息量，就可以按照一定的方法得到被控过程的数学模型，而控制理论已有相关成熟的方案，即工程上普遍采用的阶跃响应曲线法。在本次设计中，被控对象为浙江天煌科技实业有限公司出品的THJ-2型高级过程试验装置提供的三容水箱系统，分别为上水箱、中水箱、下水箱，均为具有自平衡能力的被控过程。
图2.1 单容水箱特性测试原理图
2.2 输入、输出数据获取
三个水箱的模型都视为一阶惯性环节来分别建立数学模型。具体的思路如下：按照图
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2.1所示组建单容水箱系统，以电动调节阀的开度作为输入量，以水箱的液位作为输出量，通过实验测得数据来建立传递函数。实验时，在水箱液位已经稳定的前提下，给电动调节阀突加阶跃的变化（此增量不宜过大，以免待测水箱中的水溢出）,让待测水箱的液位进入新的平衡状态。此时，通过上位机获取输入输出数据，考虑到测量噪声的影响， 要先对测量数据进行曲线拟合后运用图解法来建立数学模型。
经30s为周期采集的上水箱的液位测量值如下：
22.54 29.07 33.57 34.70 35.90 36.71 37.11 37.82 38.26 38.05 38.42 38.37 38.36 38.45 38.60 38.70 38.67 38.71 38.86
经30s为周期采集的中水箱的液位测量值如下：
23.62 30.50 35.25 38.69 41.32 43.31 44.77 45.56 46.17 47.06 47.25 47.46 47.76 47.87 47.89
经30s为周期采集的下水箱的液位测量值如下：
53.56 54.02 57.19 60.28 63.53 66.56 69.52 72.26 74.79 77.00 79.07 80.87 82.88 84.61 86.34 87.71 89.18 90.44 91.76 93.04 94.11 95.18 96.04 96.96 97.49 98.45 99.19 99.83 100.43 101.01 101.42 101.81 102.26 102.79 103.19 103.36 103.65 103.93 104.39 104.84 105.06 105.53 105.80 106.08 106.33 106.41 106.61 106.65 106.94 107.20 107.28
2.3 拟合与图解
在明确了拟合的含义之后，就可以运用MATLAB所提供的函数与强大数值计算功能来进行拟合出一条单容水箱的阶跃响应曲线，为进一步运用图解的方法进行准备工作。
2.3.1 拟合
运用MATLAB提供的一组函数polyfit、polyval以及plot可以得到比较满意的多项式拟合曲线。M语言的代码如下： 上水箱响应曲线拟合相关代码： x=0:30:540;
y=[22.54 29.07 33.57 34.70 35.90 36.71 37.11 37.82 38.26 38.05 38.42 38.37 38.36 38.45 38.60 38.70 38.67 38.71 38.86]; p=polyfit(x, y,5); xi=0:3:540; yi=polyval(p,xi); plot (x,y,xi,yi,'--') 中水箱响应曲线拟合相关代码： x=0:30:420;
y= [ 23.62 30.50 35.25 38.69 41.32 43.31 44.77 45.56 46.17 47.06 47.25 47.46 47.76 47.87 47.89 ]; p=polyfit (x, y,3); xi=0:3:420; yi=polyval(p, xi); plot (x, y, xi, yi,'--') 下水箱响应曲线拟合相关代码： x=0:30:1500;
y=[ 53.56 54.02 57.19 60.28 63.53 66.56 69.52 72.26 74.79 77.00 79.07 80.87 82.88
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三容水箱液位串级控制系统的设计
84.61 86.34 87.71 89.18 90.44 91.76 93.04 94.11 95.18 96.04 96.96 97.49 98.45 99.19 99.83 100.43 101.01 101.42 101.81 102.26 102.79 103.19 103.36 103.65 103.93 104.39 104.84 105.06 105.53 105.80 106.08 106.33 106.41 106.61 106.65 106.94 107.20 107.28];
p=polyfit (x, y,3); xi=0:3:1500; yi=polyval(p, xi); plot (x, y, xi, yi,'--')
经过MATLAB的拟合得到的上水箱、中水箱、下水箱的曲线, 其中曲线1为测量数据曲线，曲线2为MATLAB拟合的阶跃响应曲线。
图2.2上水箱数据拟合图
图2.3 中水箱数据拟合图
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图2.4 下水箱数据拟合图
2.3.2 参数求解
运用控制理论来分析、设计、整定或改进一个过程控制系统，只有过程的阶跃响应曲线还是不够的，还必须由阶跃响应曲线确定其传递函数。根据工程经验，单容水箱为一阶惯性环节，可见，只要能由阶跃响应曲线求得放大系数K、时间常数T，则过程的数学模型就可求得了。设过程输入信号的阶跃增量为X,由上述三图的阶跃响应曲线可定出其稳态值Y(∞),则K、T可以如下步骤确定。
a) 静态放大系数K 阶跃响应曲线的稳态值Y(∞)与阶跃增量值X之比，即K= Y(∞)/X （2.1） 由于系统输出有初值，在经过一个坐标平移后可以确定上、中、下三个水箱的稳态终值分别为16.2mm 、23.5mm、56mm。三次实验的阶跃扰动值均为10(电动调节阀的开度)，计算K得分别为1.62、2.35、5.6。
b) 时间常数T 按照工程经验在响应曲线上选两个点Y*(t1)=0.632Y(∞),Y*(t2)=0.33 Y(∞),按上式计算T1＝t1,T2=2.5t2，T＝(T1+T2)/2。
下面就是由阶跃响应曲线确定一阶惯性环节的时间常数的图解过程：
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