第1课时 组合与组合数公式
知识点 组合的定义
01合成一组，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素□叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
知识点 组合与组合数公式
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组合的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“合成一组”，表示与元素的顺序无关，排列与组合的相同点是从n个不同元素中任取m个元素，不同点是组合是“不管元素的顺序合成一组”，而排列是要求元素按照一定的顺序排成一列．因此区分某一问题是组合还是排列，关键是看取出的元素有无顺序．
组合数的两个性质，性质1反映了组合数的对称性，在m>时，通常不直接计算Cn而改为
2Cn，对于性质2，Cn＋1＝Cn＋Cn要会正用、逆用、变形用．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C3.( ) (2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C4个积．( ) (3)1,2,3与3,2,1是同一个组合．( ) (4)C5＝5×4×3＝60.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
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3
2
2
nmn－mmmm－1
2．做一做
(1)从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是________． (2)C20＝________. (3)C99＋C99＝________.
答案 (1)20 (2)190 (3)161700
6×5×43
解析 (1)由组合数公式知C6＝＝20.
3×2×1(2)C20＝C20＝
18
2
3
2
18
20×19
＝190. 2×1
100×99×98323
(3)C99＋C99＝C100＝＝161700.
3×2×1
探究1 组合的有关概念 例1 给出下列问题：
(1)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？ (2)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？ (3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？ (4)a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？
(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？ (6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？ 在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？
[解] (1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题． (2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．
(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题． (4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．
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(5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺序，是组合问题． (6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题． 拓展提升
判断是否为组合问题，关键是判断问题是否与顺序有关，可以结合条件理解，也可以选择一个结果，交换这个结果中两个元素先后顺序，看是否对结果产生影响，若无新变化，则是组合问题．总之，与顺序有关是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题．
[跟踪训练1] 判断下列问题是排列问题，还是组合问题．
(1)从集合A＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相加，得到的和共有多少个？ (2)从集合A＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相除，得到的商共有多少个？
(3)从a，b，c，d这四名同学中任取两名同学去参加某一活动，共有多少种不同的选法？ (4)四个人互发一个电子邮件，共写了多少个电子邮件？
解 (1)从集合A中取出两个数后，改变两个数的顺序，其和不变．因此此问题，只与取出的元素有关，与元素的顺序无关，故是组合问题．
(2)从集合A中取出两个数相除，若改变其分子、分母的位置，其结果就不同，因此其商的值与元素的顺序有关，是排列问题．
(3)由于从4名同学中取出的两名同学参加的同一项活动，没有顺序，因此是组合问题． (4)四人互发电子邮件，由于发信人与收信人是有区别的，与顺序有关，是排列问题． 探究2 组合数及组合数性质的运用 例2 (1)计算：C10－C7·A3； 117m(2)已知m－m＝m，求C8；
C5C610C7(3)求C3n＋C21＋n的值； (4)证明：mCn＝nCn－1. [解] (1)原式＝C10－A7＝(2)原方程可化为＝即＝
4
3
38－n3n4
3
3
mm－1
10×9×8×7
－7×6×5＝210－210＝0.
4×3×2×1－
6！
m！?5－m?！m！?6－m?！
5！
7×?7－m?！m！
，
10×7！
m！?5－m?！m！?6－m??5－m?！
5！
－
6×5！
7×m！?7－m??6－m??5－m?！
，
10×7×6×5！
6－m?7－m??6－m?∴1－＝，
660
即m－23m＋42＝0，解得m＝2或21(不符合题意，舍去)．
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2
