角平分线的辅助线做法
角平分线的辅助线做法常见的有三种：①利用角分线易构成全等三角形②沿角分线，碰直角构等腰③做平行线，构等腰。
一、利用角分线易构成全等三角形（SAS）
该方法常见有两种情况，一是在角两边截取相等的线段，利用SAS构成全等三角形，另一种是利用角分线上一点向角两边做垂线构成全等三角形。
例1：如图，BD是四边形ABCD中∠ABC的平分线，AB>BC，∠A＋∠C＝180°，求证：DA＝CD
D C
A B
提示：该题目可运用两种情况中的任何一种 同类型拷贝：
如图在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC．求证：?A??C?180?.
B
C
A
D
例2：已知：如图1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求证DC⊥AC
A
C
EDB
图1-3同类型拷贝：
已知，如图，∠C=2∠A，AC=2BC。求证：△ABC是直角三角形。
A
C B
例3 如图，△ABC中，AD是∠A的平分线，∠EDF＋∠BAF=180°，求证：DE=DF.
提示：过D做角两边的垂线。
同类型拷贝：
如图，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。 求证：∠ADC+∠B=180
A
DEBC
F图2-1
例4：已知：如图1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求证：AB-AC=CD
B_
同类型拷贝：
_ D_ E_ A_ C
已知：如图在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，求证：BC=AB+AD
B D C A
例5 已知：如图2-7，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ,CD⊥AB，垂足为D，AE平分∠CAB交CD于
F，过F作FH//AB交BC于H。求证CF=BH。
CEFADHB
A图2-7例6：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？
HG 分析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法
E证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点． I 已知：如图，△ABC的角平分线AD与BE交于点I，求
BDFC证：点I在∠ACB的平分线上．
证明：过点I作IH⊥AB、IG⊥AC、IF⊥BC，垂足分别是点H、G、F．
∵点I在∠BAC的角平分线AD上，且IH⊥AB、IG⊥AC ∴IH=IG（角平分线上的点到角的两边距离相等） 同理 IH=IF ∴IG=IF（等量代换） 又IG⊥AC、IF⊥BC
∴点I在∠ACB的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）.即：三角形的三条角平分线交于一点． 同类型拷贝：
已知：如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，?它们交于点P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F．
求证：BP为∠MBN的平分线．
二、沿角分线，碰直角构等腰
1例1． 已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中点。求证：DH=（A
2B-AC）
DCA
BEH。 图示3-1
例2． 已知：如图3-2，AB=AC，∠BAC=90 ，BD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE。
BAEFD图3-2C同类型拷贝：
如图，已知△ABC中，CE平分∠ACB，且AE⊥CE，∠AED＋∠CAE＝180度，求证：DE∥BC
A A
M
D E BDEC
F B NC 图3-3
例3．已知：如图3-3在△ABC中，AD、AE分别∠BAC的内、外角平分线，过顶点B作BF⊥AD，交AD的延长线于F，连结FC并延长交AE于M。求证：AM=ME。
提示：由AD、AE是∠BAC内外角平分线，可得EA⊥AF，从而有BF//AE，所以想到利用比例线段证相等。 例4 已知：如图3-4，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD交AD延长线于M。求证：
1AM=（AB+AC）
2分析：题设中给出了角平分线AD，自然想到以AD为轴作对称变换，作△ABD关于AD的对称
11△AED，然后只需证DM=EC，另外由求证的结果AM=（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可尝试
22作△ACM关于CM的对称△FCM，然后只需证DF=CF即可。
A
E FC nDB
M图3-4
例5．如图，∠B=∠C=90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB．
求证：AD=CD+AB．
