线性代数期末试题及参考答案
一、单项选择题<每小题3分，共15分）
1．下列矩阵中，< ）不是初等矩阵。
?100??100??001??100??020??01?2??010??000??????????001??????(D> ??001??
?123．设A为n阶方阵，且A?A?5E?0。则(A?2E)?< ） 11(A?E)(A?E) (A> A?E (B> E?A (C> 3 (D> 3 4．设A为m?n矩阵，则有< ）。 5．若n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，则 < ） 二、判断题(正确填T，错误填F。每小题2分，共10分> 1． A是n阶方阵，??R，则有?A??A。 < ） ?1?1?1AB?0(AB)?BA。 < ） 2． A，B是同阶方阵，且，则 1 / 8 3．如果A与B等价，则A的行向量组与B的行向量组等价。 ( > 4．若A,B均为n阶方阵，则当A?B时，A,B一定不相似。 ( > ?1,?2,?3,?4?线性相关，则??1,?2,?3?也线性相关。 < ） 5．n维向量组?三、填空题<每小题4分，共20分） 012n?10 。 1．nA?13A*?A?2．A为3阶矩阵，且满足3,则=______， 。 ?1??0??2??1?????????1??1??2??4??234???????2??1??5??7??0?????????是线性 <填相关或3．向量组，，， 无关）的，它的一个极大线性无关组是 。fgMAHkwHrE 4． 已知?1,?2,?3是四元方程组Ax?b的三个解，其中A的秩R(A)=3， ?1??4?????24?1????2??3????3??4????4???4????，??，则方程组Ax?b的通解为 。fgMAHkwHrE ?2?31??A??1a1????503??，且秩(A>=2，则a= 。 5．设 四、计算下列各题<每小题9分，共45分）。 ?121??A??342????122??，求矩阵B。 1．已知A+B=AB，且 T??(1,?1,?1,1),??(?1,1,1,?1)A???，求An。 2.设，而 2 / 8 ??x1?x2?ax3??1??x1?x2?2x3??1???x?ax?x?a2233.已知方程组?1有无穷多解，求a以及方程组的通解。 4.求一个正交变换将二次型化成标准型 222f(x1,x2,x3)?x1?2x2?2x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3 5． A，B为4阶方阵，AB+2B=0，矩阵B的秩为2且|E+A|=|2E-A|=0。<1） 求矩阵A的特征值；<2）A是否可相似对角化？为什么？；<3）求|A+3E|。fgMAHkwHrE 五．证明题<每题5分，共10分）。 1．若A是对称矩阵，B是反对称矩阵，AB?BA是否为对称矩阵？证明你的结 论。 T2．设A为m?n矩阵，且的秩R(A)为n，判断AA是否为正定阵？证明你的结 论。 线性代数试题解答 一、 n?A??A） 1． 2． ?100??000?????A??010?B??010?????????000001??，??。 3． 4． 1．选B。初等矩阵一定是可逆的。 2．选B。A中的三个向量之和为零，显然A线性相关； B中的向量组与?1， ?2，?3等价, 其秩为3，B向量组线性无关；C、D中第三个向量为前两个向量 3 / 8 的线性组合，C、D中的向量组线性相关。fgMAHkwHrE 22A?A?2E?3E??A?2E?(A?E)?3E， A?A?5E?0?3．选C 。由 1?1??A?2E??(A?E)3>。 4．选D。A错误，因为m?n，不能保证R(A)?R(A|b)；B错误，Ax?0的基础解系含有n?R?A?个解向量；C错误，因为有可能R(A)?n?R(A|b)?n?1， Ax?b无解；D正确，因为R(A)?n。fgMAHkwHrE 5．选A。A正确，因为它们可对角化，存在可逆矩阵P,Q，使得 PAP?1?diag(?1,?2,三、1． ??1?n?1,?n)?QBQ?1，因此A,B都相似于同一个对角矩阵。 n!<按第一列展开） 12?353A3A2． 3；3<=） 3． 相关<因为向量个数大于向量维数）。 ?1,?2,?4。因为?3?2?1??2， A?|?1 ?2 ?4|?0。 4． ?1234??k?20?2?4?。因为R?A??3，原方程组的导出组的基 TT础解系中只含有一个解向量，取为?2??3?2?1，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。fgMAHkwHrE 5．a?6 ?1A?EB?A?B?(A?E)A。将A?E与A组成一??1．解法一：A?B?AB??1个矩阵(A?E|A)，用初等行变换求(E|(A?E)A)。 ?021121??100001?????332342332342????????A?E|A?=??121122??(r1?r3)?121122? ?100001??100001?????01122?203234?1?????r?r?021121?r2?3r1,r3?r1?021121? ??23?4 / 8
