第2讲 平面向量基本定理及坐标表示
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
(2)基底：不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx21，λy1)，|a|＝x21＋y1．
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x，y)，则→
11)，B(x2，y2AB＝(x2－x1，y2－y1)， |→AB|＝（x222－x1）＋（y2－y1）． 3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b?x1y2－x2y1＝0． [提醒] 当且仅当xx1y12y2≠0时，a∥b与x＝等价． 2y2
即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( ) (2)在△ABC中，向量→AB，→
BC的夹角为∠ABC.( ) (3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．( )
(4)若a＝(xx1y11，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成x＝.( ) 2y2
(5)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2 ，μ1＝μ2.( 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ [教材衍化]
) 1
量 1．(必修4P99例8改编)若P1(1，3)，P2(4，0)且P是线段P1P2的一个三等分点，则点
P的坐标为( )
A．(2，2) C．(2，2)或(3，－1)
B．(3，－1) D．(2，2)或(3，1)
→1→→2→→→
解析：选D.由题意得P1P＝P1P2或P1P＝P1P2，P1P2＝(3，－3)．设P(x，y)，则P1P＝(x331→1→
－1，y－3)，当P1P＝P1P2时，(x－1，y－3)＝(3，－3)，所以x＝2，y＝2，即P(2，2)；
332→2→
当P1P＝P1P2时，(x－1，y－3)＝(3，－3)，所以x＝3，y＝1，即P(3，1)．故选D.
33
2．(必修4P97例5改编)已知?ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________．
?4＝5－x，?x＝1，??→→
解析：设D(x，y)，则由AB＝DC，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即?解得?
???1＝6－y，?y＝5.
答案：(1，5)
3．(必修4P119A组T9改编)已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝________．
解析：由向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)， 得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)． 由ma＋nb与a－2b共线， 得
2m－n3m＋2nm1
＝，所以＝－. 4－1n2
mn1
答案：－
2[易错纠偏]
(1)忽视基底中基向量不共线致错； (2)弄不清单位向量反向的含义出错； (3)不正确运用平面向量基本定理出错．
3??1，－1．给出下列三个向量：a＝(－2，3)，b＝?，c＝(－1，1)．在这三个向量中任2???意取两个作为一组，能构成基底的组数为________．
解析：易知a∥b，a与c不共线，b与c不共线，所以能构成基底的组数为2. 答案：2
→
2．已知A(－5，8)，B(7，3)，则与向量AB反向的单位向量为________．
2
1→→→→
解析：由已知得AB＝(12，－5)，所以|AB|＝13，因此与AB反向的单位向量为－AB＝
13
?－12，5?. ?1313???
?125?答案：?－，?
?1313?
→→→
3.如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若AE＝λAB＋μAC，则λ＋μ的值为________．
→→→1→1→→1→→
解析：因为E为DC的中点，所以AC＝AB＋AD＝AB＋AB＋AD＝AB＋DE＋
222→
AD＝AB＋AE，即AE＝－AB＋AC，所以λ＝－，μ＝1，所以λ＋μ＝.
1
答案：
2
平面向量基本定理及其应用
→→→→→
(1)已知平行四边形ABCD中，点E，F满足AE＝2EC，BF＝3FD，则EF＝________(用
1→→2
→
1→2
→
1212
→→
AB，AD表示)．
→2→1→
(2)在△ABC中，点P是AB上一点，且CP＝CA＋CB，Q是BC的中点，AQ与CP的交点
33→→
为M，又CM＝tCP，则实数t的值为________．
→2→2→→→3→3→→→→→
【解析】 (1)如图所示，AE＝AC＝(AB＋AD)，BF＝BD＝(AD－AB)，所以EF＝EA＋AB33442→→→3→→5→1→→
＋BF＝－(AB＋AD)＋AB＋(AD－AB)＝－AB＋AD.
341212
→2→1→(2)因为CP＝CA＋CB，
33→→→
所以3CP＝2CA＋CB， →→→→即2CP－2CA＝CB－CP， →→所以2AP＝PB.
即P为AB的一个三等分点(靠近A点)，
3
→→
又因为A，M，Q三点共线，设AM＝λAQ. →→→→→所以CM＝AM－AC＝λAQ－AC
→?1→1→?→λ→λ－2AC＝λ?AB＋AC?－AC＝AB＋，
2?22?2→→→→?1→→?又CM＝tCP＝t(AP－AC)＝t?AB－AC?
?3?
t→→
＝AB－tAC. 3
λt3＝，t＝，???23?43故?解得?故t的值是.
4λ－21
??2＝－t，??λ＝2.
5→1→3【答案】 (1)－AB＋AD (2)
12124
→→→
1．(变问法)在本例(2)中，试用向量AB，AC表示CP. →2→1→
解：因为CP＝CA＋CB，
33
→→→→→→→
所以3CP＝2CA＋CB，即2CP－2CA＝CB－CP， →→→1→2AP＝PB，所以AP＝AB，
3→
CP＝AP－AC＝AB－AC.
2．(变问法)在本例(2)中，试问点M在AQ的什么位置？
1→→λ→λ－2→→→1→→
解：由本例(2)的解析CM＝AB＋AC及λ＝，CB＝2CQ知，CM＝λ(CB－CA)＋
2222
→→
1→→
3
2－λ→
CA 2
λ→→＝CB＋(1－λ)CA 2
→→→CQ＋CA＝λCQ＋(1－λ)CA＝.
2
→
因此点M是AQ的中点．
平面向量基本定理应用的实质和一般思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向
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