函数与导数主观题专项练习
1．[2018·北京卷]设函数f(x)＝[ax2
－(4a＋1)x＋4a＋3]ex. (1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a； (2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围． 解析：(1)因为f(x)＝[ax2
－(4a＋1)x＋4a＋3]ex， 所以f′(x)＝[ax2
－(2a＋1)x＋2]ex. 所以f′(1)＝(1－a)e.
由题设知f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1. 此时f(1)＝3e≠0. 所以a的值为1.
(2)由(1)得f′(x)＝[ax2
－(2a＋1)x＋2]ex ＝(ax－1)(x－2)ex.
若a>12，则当x∈??1?a，2???时，f′(x)<0； 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0. 所以f(x)在x＝2处取得极小值．
若a≤12，则当x∈(0,2)时，x－2<0，ax－1≤1
2x－1<0，
所以f′(x)>0.
所以2不是f(x)的极小值点．
综上可知，a的取值范围是??1?2，＋∞???
.
2．[2019·安徽省安庆市高三模拟]已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0. 解析：解法一 (1)f′(x)＝e
x－a(x>0)，
①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ②若a>0，则当0 a时，f′(x)>0； 当x>e a时，f′(x)<0. 所以f(x)在??e? 0，a??? 上单调递增， 1 在??e?a，＋∞??? 上单调递减． x(2)证明：因为x>0，所以只需证f(x)≤e x－2e， 由(1)知，当a＝e时，f(x)在(0,1)上单调递增， 在(1，＋∞)上单调递减， 所以f(x)max＝f(1)＝－e. xx设g(x)＝ex－2e(x>0)，则g′(x)＝?x－1?e x2 ， 所以当0 x即f(x)≤x－2e， 即xf(x)－ex＋2ex≤0. 解法二 (1)同解法一． (2)证明：由题意知， 即证exln x－ex2 －ex＋2ex≤0(x>0)， x从而等价于ln x－x＋2≤e ex. 设函数g(x)＝ln x－x＋2，则g′(x)＝1 x－1. 所以当x∈(0,1)时，g′(x)>0； 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0， 故g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 从而g(x)在(0，＋∞)上的最大值为g(1)＝1. xx设函数h(x)＝eex，则h′(x)＝e?x－1? ex2 . 所以当x∈(0,1)时，h′(x)<0； 当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0. 故h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 从而h(x)在(0，＋∞)上的最小值为h(1)＝1. 综上，当x>0时，g(x)≤h(x)， 即xf(x)－ex＋2ex≤0. 3．[2019·甘肃第二次诊断]已知函数f(x)＝2x2 －ax＋1＋ln x(a∈R)．2 (1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若a＝5，求f(x)的单调区间； (3)若3 12 解析：(1)若a＝0，则f(x)＝2x＋1＋ln x，f′(x)＝4x＋，故f′(1)＝5，即曲线yx＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为5， 又f(1)＝3，所以所求切线方程为y－3＝5(x－1)，即5x－y－2＝0. (2)当a＝5时，f(x)＝2x－5x＋1＋ln x，其定义域为(0，＋∞)， 2 f(x)＝4x－5＋＝x1?4x－1??x－1? ， x?1??1?当x∈?0，?，(1，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在?0，?和(1，＋∞)上单调递增． ?4??4??1??1?当x∈?，1?时，f′(x)<0，所以f(x)在?，1?上单调递减． ?4??4? 14x－ax＋1(3)由f(x)＝2x－ax＋1＋ln x得f′(x)＝＋4x－a＝. 2 2 xx设h(x)＝4x－ax＋1，Δ＝a－16， 当3 又f(1)＝3－a<0，f(e)＝2e－ae＋2＝e(2e－a)＋2>0， 所以f(x)在x∈[1，e]上有唯一零点． 2 22 ax2＋x4．[2019·武汉调研]已知函数f(x)＝ln(x＋1)－2，其中a为常数． ?x＋1? (1)当1 ?1?1 (2)当x>0时，求g(x)＝xln?1＋?＋ln(1＋x)的最大值． ? x?x解析：(1)函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝3 ①当－1<2a－3<0，即1 2 当－1 3 ②当2a－3＝0，即a＝时，f′(x)≥0，则f(x)在(－1，＋∞)上单调递增． 23 ③当2a－3>0，即a>时， 2 当－1 3 x?x－2a＋3? ，x>－1. 3 ?x＋1? 当0 3 综上，当1 233 递减；当a＝时，f(x)在(－1，＋∞)上单调递增；当 22＋∞)上单调递增，在(0,2a－3)上单调递减． ?1??1?(2)∵g(x)＝?x＋?ln(1＋x)－xlnx＝g??， ? x? ?x? ∴g(x)在(0，＋∞)上的最大值等价于g(x)在(0,1]上的最大值． 1?1??1??1?令h(x)＝g′(x)＝?1－2?ln(1＋x)＋?x＋?·－(lnx＋1)＝?1－2?ln(1＋x)－ ?x??x?1＋x?x?12 lnx＋－， x1＋x2x＋x?则h′(x)＝3?ln?1＋x?－2?. ?x＋1??x? 2? 由(1)可知当a＝2时，f(x)在(0,1]上单调递减， ∴f(x) ∴h′(x)<0，从而h(x)在(0,1]上单调递减， ∴h(x)≥h(1)＝0，∴g(x)在(0,1]上单调递增， ∴g(x)≤g(1)＝2ln2，∴g(x)的最大值为2ln2. 5．[2019·湖北省七市教科研协作高三联考]已知函数f(x)＝(x－1)e－ax(e是自然对数的底数，a∈R)． (1)判断函数f(x)极值点的个数，并说明理由； (2)若?x∈R，f(x)＋e≥x＋x，求a的取值范围． 解析：(1)f(x)的定义域为R， x32 x2 f′(x)＝xex－2ax＝x(ex－2a)． 当a≤0时，f(x)在(－∞，0)上单调递减， 在(0，＋∞)上单调递增， ∴f(x)有1个极值点； 1 当0 2＋∞)上单调递增， ∴f(x)有2个极值点； 1 当a＝时，f(x)在R上单调递增， 2此时f(x)没有极值点； 4