【专题】导数在研究函数零点中的应用
[知识储备]
确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法:
（1）零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有 f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点
（2）数形结合法： 通过画函数图象（怎么作草图？），观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
类型一、研究函数零点的个数
??x－2，x≤0，例1．函数f(x)＝?
?2x－6＋ln x，x>0?
2
的零点个数是__ __．
类型二、求参数的值或范围
例2．若函数f(x)＝xln x－a有两个零点，则实数a的取值范围为________．
类型三、研究函数图像的交点个数
1
例3、已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋a(a为常数)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且l与
2函数f(x)图象的切点的横坐标为1.
(1)求直线l的方程及a的值；
(2)当k>0时，试讨论方程f(1＋x2)－g(x)＝k的解的个数．
1
x例4、 已知函数f?x??lne?a(a为常数)是实数集R上的奇函数.
?? (1)求a的值； (2) 讨论关于x的方程
类型四、函数存在点零点或方程有解问题
例5、若方程x?ax?9x?0在?1，3?上有实数解，求a的取值范围.
32lnx?x2?2ex?m的根的个数. f(x)
跟踪练习：若方程x?6x?9x?10?a在?1，3?上有实数解，求a的取值范围.
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小结：已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
（3）先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
2
【针对性练习】
1.f?x??x2?2x零点的个数是________.
2.方程2x3?6x2?7?0在区间?0,2?内的实数个数是___________.
m
3.设函数 f(x)＝ln x＋，m ∈R.
x
(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求 f(x)的极小值；
x
(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数.
3
4.已知f(x)＝2ln(x＋a)－x－x在x＝0处取得极值． (1)求实数a的值．
(2)若关于x的方程f(x)＋b＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．
3
2
5.若g(x)?6lnx?m,问是否存在实数m，使得y= f（x）=?x?8x的图象与
y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
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