【答案】?1
【命题意图】本题考查函数的周期性，奇偶性，函数求值，难度：简单题． （15）已知a?1，b?2，a?b?b?3，a?b与a的夹角为?，则cos?? ▲ ． 【答案】27 7rr?rr?rrrr【命题意图】本题考查平面向量的基本运算，难度：简单题．
（16）在△ABC中，已知AB?8，BC?7，cos(C?A)?13，则△ABC的面积为 ▲ ． 14【答案】103 【命题意图】本题考查余弦定理和三角形的面积公式，难度：较难题．
【解析】如图，在边AB上取一点D，使得AD?CD?x， 则cos?DCB?cos(C?A)，于是在△CBD中， 由余弦定理：
x?7?(8?x)13?，解得x?5，
14x14222CxxA78?xDB5315332?72?5211从而cosB?，S??8?7??103． ?，sinB?1?cos2B?142142?3?714
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）(本小题满分12分)
设数列?an?的前n项和Sn?2n?1，数列{bn}满足bn?1?n．
(n?1)log2an（Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Tn． 【命题意图】本题考查数列的通项公式和前n项和的基本知识，考查学生的运算能力，难度：中等题． 【解】
（Ⅰ）当n?1时，a1?S1?4 ………………………………………（2分）
由Sn?2n?1，得Sn?1?2n(n?2)，
∴an?Sn?Sn?1?2n?1?2n?2n(n?2) ∴an???4,n?1 ………………………（6分） n2,n?2?155?1?，∴T1? ………………………………（7分）
2log2444（Ⅱ）当n?1时，b1?当n?2时，
bn?1111?n??n???n ……………………………（8分） nn(n?1)nn?1(n?1)log22Tn??511111111?(?????+…+?)?(2?3?4?…?n) 4233445nn?1111111111?(?????+…+?)?(1?2?3?4?…?n) 4233445nn?1?31n(n?1) ……………………………………………………（11分） ??4n?1231n(n?1)上式对于n?1也成立，所以Tn??． ………………（12分） ?4n?12
（18）(本小题满分12分)
2015年12月6日宁安高铁正式通车后，极大地方便了沿线群众的出行生活．小明与小强都是在芜湖工作的马鞍山人，他们每周五下午都乘坐高铁从芜湖返回马鞍山．因为工作的需要，小明每次都在15:30至18:30时间段出发的列车中任选一车次乘坐；小强每次都在16:00至18:30时间段出发的列车中任选一车次乘坐．（假设两人选择车次时都是等可能地随机选取）
（Ⅰ）求2016年1月8日（周五）小明与小强乘坐相同车次回马鞍山的概率； （Ⅱ）记随机变量X为小明与小强在1月15日（周五），1月22日（周五），1月29日（周五）这3天中乘坐的车次相同的次数，求随机变量X的分布列与数学期望．
附：2016年1月10日至1月31日每周五下午芜湖站至马鞍山东站的高铁时刻表．
车次 G7174 G7178 D5606 D5608 G7088 芜湖发车 13:37 15:05 15:37 17:29 18:29 到达马鞍山东 14:02 15:24 16:02 17:48 18:48 耗时 25分钟 19分钟 25分钟 19分钟 19分钟 【命题意图】本题考查古典概型和二项分布，考查学生数据处理的能力，难度：中等题． 【解】（Ⅰ）设“2016年1月29日（周五）小明与小强两人乘坐同一趟列车回马鞍山”为事
件A，由题意，小明可选择的列车有3趟，小强可选择的列车有2趟，其中两人可以同时乘坐的有2趟．
1C21所以P(A)?11?．…………………………………………………………（5
C3?C23分）
（Ⅱ）随机变量X的可能取值为01，，2，3．
1由题，X~B(3,)．
3840102311122，P(X?1)?C3P(X?0)?C3()()?()()?，
3327339122131320．……………………（9P(X?2)?C32()2()1?，P(X?3)?C3()()?3393327分）
随机变量X的分布列为： X0 1 49 2 29 3 1 27p EX?0?8 2784211．……………………（12?1??2??3??1（或EX?3??1）
2799273分）
（19）(本小题满分12分)
如图，几何体ABCA1B1C1中，面ABC是边长为2的正三角形，AA1,BB1,CC1都垂直于面
ABC，且AA1?2BB1?2CC1?2，D为B1C1的中点，E为A1D的中点．
A1（Ⅰ）求证：AE?面A1B1C1； （Ⅱ）求BC1与面A1B1C1所成角的正弦值．
【命题意图】考查线面垂直的证明、线面角的求法，向量法（坐标法）的运用，中等难度． 方法1：几何法 （Ⅰ）【证明】取BC的中点F，连接AD,AF,DF，易知，A,F,D,A1共面．
在Rt?ADF中，由勾股定理易算得AD?2． ?AA1?2，且E为A1D的中点，?AE?A1D．
又由条件易得AF?BC,AA1?BC，?BC?面A1AFD， ?B1C1?面A1AFD，?B1C1?AE． ?AE?面A1B1C1． （Ⅱ）【解】记DF?B1C?G，过G作GH?A1D，垂足为H， 易知GH?AE，且?GHD∽?AEA1,
1则GH即为点G到平面A1B1C1的距离，且GH?AE．
4所以?GC1H为BC1与面A1B1C1所成角．
由?ABC边长为2得AF?3，从而算得A1D?2，AE?3， 3所以GH?．
415又C1G?C1B?，
22315GH15所以sin?GC1H?，即所以角的正弦值为． ?4?10C1G1052B1DHGBPFCAC1EB1BAC1CDA1 第（19）题图
EB1C1DABFA1CEEGA1HPD方法2：坐标法（略）．
（20）(本小题满分12分)
如图，椭圆E:3xy的离心率为，点(3,2)??1(a?b?0)3a2b222FyA为椭
D圆上的一点．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）若斜率为k的直线l过点A(0,1)，且与椭圆E交于C,D两点,B为椭圆E的下顶点，求证：对于任意的k，直线BC,BD的斜率之积为定值．
【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和性质，考查学生运算能力，难度：中等题． 【解】（Ⅰ）Qe?3332a，?a2?b2?（a） ① ， ?c?333AOCB第（20）题图
x又椭圆过点(3,2)，?32??1 ② a2b2由①②解得a2?6,b2?4，
x2y2所以椭圆E的标准方程为??1．………………………………………………（4分）
64（Ⅱ）设直线l:y?kx?1， …………………………………………………………………（5
分）
22??x?y?1联立?64得：(3k2?2)x2?6kx?9?0， ………………………………………（7
??y?kx?1分）
设C(x1,y1),D(x2,y2)，则有x1?x2??分）
易知B(0,?2)，
故kBC?kBD分）
?k2?3k(x1?x2)92k??k2?3k??(3k2?2)??2为定值．…………………………（12x1x2x1x236k9，x1x2??2．……………………（923k?23k?2y1?2y2?2kx1?3kx2?3k2x1x2?3k(x1?x2)?9?????……………………（10
x1x2x1x2x1x2分）
（21）(本小题满分12分)
设函数f(x)?x3ax，其中a?0且a?1，若?(x)?（Ⅰ）求a的最小值；
（Ⅱ）当a取得最小值时，证明：对于任意的0?x1?x2，当x1?x2?6时，有f(x1)?f(x2)． 【命题意图】本题考查导数的综合运用，考查学生应用知识解决问题的能力，难度：较难题． 【解析】（Ⅰ）f'(x)?3x2ax?x3axlna?ax(3x2?x3lna)，
2由题知：当x?(0,2)时，?'(x)?6x?(3lna)x2?0恒成立，即lna??恒成立．
x211又x?(0,2)时，??(??,?1)，故lna??1?ln?a?．
xee1即a的最小值为．……………………………………………………………………（5分）
e1x3（Ⅱ）a?时，f(x)?x，
ee∵0?x1?x2且x1?x2?6，∴0?x1?3，x2?6?x1．
f'(x)是区间(0,2)上的增函数． axx13x23要证f(x1)?f(x2)，只需证x?x(0?x1?3)，
e1e23x2x2?x1?3，只需证x2?x1?3lnx2?3lnx1， 只需证ex1只需证3lnx1?3lnx2?x2?x1?0，
x1?0（*）………………………………………………（8只需证3lnx1?3ln(6?x1)?6?2分）
