齐次微分方程的三个解，求此微分方程。
3．已知f?0??1，试确定f?x?，使ex?f?x?ydx?f?x?dy?0为全微分方程，2??并求此全微分方程的通解。
第十二章 微分方程
(A)
一、是非题
1．×；2．×；3． √；4．×；5．√；6．×；7．×；8．√；9．√。 二、填空题
1．在横线上填上方程的名称
①可分离变量微分方程；②可分离变量微分方程；③齐次方程； ④一阶线性微分方程；⑤二阶常系数齐次线性微分方程。
112．3；3．e?2x?C1x?C2； 4．?sin2x?cosx?C1x?C25．3；
446．2；7．y??y2?0 ；8．y?Cx2； 9．x2?y2?C； 10．y?C?x?1?； 11．y?Cxe；12．y?2x2216x?C1x??C2x?C3。 120三、选择题
1．D； 2．A；3．B； 4．B；5．C；6．A；7．B；8．C；9．A；10．A；11．C；12．C；13．B；14．C；15．A；16．B；17．B；18．B；19．A；20．D；21．C； 22．A． 四、解答题
1．验证函数y?C?e?3x?e?2x(C为任意常数)是方程并求出满足初始条件y|x?0的特解。
dy?e?2x?3y的通解，dx?xy2?1dx?y1?x2dy?02．求微分方程?的通解和特解。
?y|x?0?11?y222?C解：，2x?y?1。 21?x????3．求微分方程
dyyy??tan的通解。 dxxx解：siny?Cx。 xxy??y???yx的特解。 4．求微分方程??y|?2?x?1解：y2?2x2?lnx?2?。
5．求微分方程y??y?cosx?e?sinx的通解。 解：y?e?sinx?x?C?。 6．求微分方程解：y?dyy??sinx的通解。 dxx1?sinx?xcosx?C?。 x7???x?1?y??2y??x?1?2?07．求微分方程?的特解。
??y|x?0?131??22解：y???x?1?2???x?1?。
3??38．求微分方程y???2y?x满足初始条件x?0，y?1，y??3的特解。 2x?1解：y?x3?3x?1。
9．求微分方程y???2yy?满足初始条件x?0，y?1，y??2的特解。 解：arctany?x?????或y?tan?x??。 44??10．验证二元方程x2?xy?y2?C所确定的函数为微分方程
?x?2y?y??2x?y的解。
解：略。
11．求微分方程ex?y?exdx?ex?y?eydy?0的通解。 解：ex?1ey?1?C。
dy?y?tanx?secx，y|x?0?0的特解。 dxx解：y?。
cosx????????12．求
13．验证y1?cosx，y2?sin?x都是y????2y?0的解，并写出该方程的通解。
解：略。
2y?x214．求微分方程y??的通解。
x解：y?Cx2?x2lnx。 15．求微分方程y??ex?ex。 解：y?x1y?ex?0满足初始条件y?1??0的特解。 x16．求微分方程
2dy23?y??x?1?的通解。 dxx?1??x?1?2??C?。 解：y??x?1??2??17．求微分方程
xydx?dy?0满足条件y?0??1的特解。 1?y1?x解：2y3?x3?3y2?x2?5。 18．求微分方程y???y??2y?0的通解。 解：y?C1ex?C2e?2x。
19．求微分方程y???2y??5y?0的通解。 解：y?e?x?C1cos2x?C2sin2x?。 20．求微分方程y???4y??4y?0的通解。 解：y??C1?C2x?e?2x。
21．试求y???x的经过点M?0,1?且在此点与直线y?解：y?131x?x?1。 62x?1相切的积分曲线。 2????(B)
一、是非题
1．×；2．√；3．√；4．×；5．×。 二、填空题
1．y?C1cosx?C2sinx； 2．y?C1e?x?C2e3x ；3．y??C1?C2x?ex；
214．y?e2x?C1x2?C2x?C3；5．y?C1ex?C2 6．y?C?ex
8三、选择题
1．C；2．C；3．C；4．C；5．D；6．A；7．A；8．C；9．A． 四、解答题
1．求微分方程y???9y??24x?6?cos3x?2sin3x的通解。 解：y??C1?x?cos3x?C2?2x2?xsinx3x。 2．求微分方程y???7y??6y?sinx的通解。 解：y?C1e6x?C2ex?1?7cosx?5sinx?。 74??3．求微分方程3x2?2xy?y2dx?x2?2xydy?0的通解。 解：y2?xy?x2?C。 x????(C)
一、是非题
1．×；2．√； 二、填空题
1．y?e2x?C1cosx?C2sinx?； 2．y?C1?x?1??C2x2?1?1 ； 3．y?ex?C1cosx?C2sinx?1? 三、选择题
1．B；2．C；3．A；4．A；5．D；6．D． 四、解答题
1．设y?ex是微分方程xy??p?x?y?x的一个解，求此微分方程满足条件
??y|x?ln2?0的特解。
解：代入y?ex到方程xy??p?x?y?x中，得p?x??xe?x?x
