第九章 多元函数微分法及其应用
一、填空题 1、二元函数z?1x?yx??1x?y的定义域是____________________.
2、二元函数z?y的定义域是____________________.
3、二元函数的极限
sin?xy?=____________________.
?x,y???0,2?xlimx?0y?14、二元函数的极限lim1?xy=____________________. 22x?y5、已知f?x,y??xy，则f?tx,ty?=___________________。 22x?yyzx6、已知f?x,y??x?y?z，则f?xy,x?y,x?y?=___________________。 7、已知f?x,y??x，则
y?f___________________ ?x?f___________________ ?y8、已知f?x,y??x，则
y9、已知z?f?x,y??y，则dz= ___________________ x10、已知z?f?x,y??sin?xy?，则dz??,1?= ___________________
11、已知z?f?x,y??x?y，则f?x,y?在?1，1?处当?x?0.1,?y?0.2时，
22dz= ___________________
?2uy12、设u?xy?，则=___________________
?x?yx?2uxy13、设u??，则=___________________
?x?yyx14、设z?u?v，而u?x?y，v?x?y。则
22?z=___________________ ，?x?z=___________________ ?y15、设z?uv，而u?x?y，v?x?y。则
?z=___________________ ，?x?z=___________________ ?y16、设sinx?siny?xy，则17、设arctan?x?y??y?dy=___________________ dx1dx，则=___________________ x?ydy?2z18、设x?y?z?4z?0，则2=_________________
?x22219、设曲线?:x?cot,sy?sit,nz?2t，曲线在t??处的切线为______________________________________，曲线在t??处的法平面为______________________________________。、 20、设曲面z?xy，则曲线在?1,2,2?处的切平面______________________________________,曲线在?1,2,2?处的法线______________________________________ 21、函数z?3x?4y在点?0,0?处有极__________值
222222、函数z??x?y在点?0,0?处有极__________值
23、f?x,y?在点?x,y?可微分是f?x,y?在该点连续的_________________条件, f?x,y?在点?x,y?连续是f?x,y?在该点可微分的_________________条件。（充分、必要、充要） 24、z?f?x,y?在点?x,y?的偏导数
?z?z及存在是f?x,y?在该点可微分的?y?x_________________条件。z?f?x,y?在点?x,y?可微分是函数在该点的偏导数在的_________________条件。（充分、必要、充要） 25、z?f?x,y?的偏导数
?z?z及存?x?y?z?z及在点?x,y?存在且连续是f?x,y?在该点可微分的?y?x_________________条件。（充分、必要、充要）
?2z?2z26、函数z?f?x,y?的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续是这两个二阶混
?x?y?y?x合偏导数在区域D内相等的_________________条件。（充分、必要、充要） 二、选择题
1、有且仅有一个间断点的函数（ ） （A）
xy?x22； （B）eln?x?y?； （C）； （D）arctan?xy?.
x?yx2、下列极限存在的是（ ）
x2x11（A）lim；（B）lim；（C）lim ；（D）limxsin.
x?0x?yx?0x?yx?0x?yx?0x?yy?0y?0y?0y?03、函数z?f?x,y?在点?x0,y0?处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ ） （A）必要而非充分条件；（B）充分而非必要条件；
（C）充分必要条件 ； （D）既非充分又非必要条件.
x4、设z?y，则???x??y??=（ ）
???2,1???z?z?（A）2；（B）1?ln2；（C）0 ；（D）1. 5、已知
?f?0，则（ ） ?x（A）f?x,y?关于x为单调递增；（B）f?x,y??0；
?2f2（C）2?0 ；（D）f?x,y??x?y?1?.
?x6、在点P处，函数f可微的充分条件是（ ） （A）f的全部二阶偏导数均连续；（B）f连续；
（C）f的全部一阶偏导数均连续； （D）f连续且一阶偏导数均存在. 7、肯定不能成为某二元函数f?x,y?全微分的是（ ）
（A）ydx?xdy；（B）ydx?xdy；（C）xdx?ydy ；（D）xdx?ydy. 8、使得df??f的函数f是（ ）
（A）ax?by?c；（B）sinxy；（C）e?e ；（D）x?y. 9、设函数u???x?y?，写法错误的是（ ）
xy22??????x?y???u；（B）；（C）???x?y? ；（D）. ?x?x?x?z10、设函数z?f?x,y,z?，则为（ ）
?x?f?f?f?y?f??f?y?x?y?x（A）；（B）；（C）?x ；（D）.
?f?f?f?x1?1??x?z?z（A）
11、曲面z?F?x,y,z?的一个法向量为（ ）
（A）Fx,Fy,Fz?1；（B）Fx?1,Fy?1,Fz?1；（C）Fx,Fy,Fz ；（D）?Fx,?Fy,?1. 12、设函数f?x,y??????????x2?y2，则错误的命题是（ ）
（A）?0,0?是驻点；（B）?0,0?是极值点；（C）?0,0?是最小值点；（D）?0,0?是极小值点. 13、设函数f?x,y?在?0,0?的某个邻域内有定义，且fx?0,0??3，fy?0,0???1,则有（ ） （A）dz?0,0??3dx?dy；
（B）曲面z?f?x,y?在点?0,0,f?0,0??的一个法向量为?3,?1,1?；
?z?f?x,y?（C）曲线?在点?0,0,f?0,0??的一个切向量为?1,0,3?；
y?0?（D）曲线??z?f?x,y?在点?0,0,f?0,0??的一个切向量为?3,0,1?.
?y?0xy.
xy?1?1三、计算解答 1、求极限limx?0y?01?cosx2?y22、求极限lim. 22x?0sinx?yy?0????3、求一阶偏导z?ln4、求一阶偏导z?tanx2?y2.
x?ln2. y25、求全部二阶偏导z?sin?ax?by?. 6、f?x,y??arctanx?y?，求fx?0,0?. 1?xyx.
7、计算全微分z?sec?xy??228、计算函数z?ln1?x?y在点?1,1?处的微分dz.
9、求函数z?vy当x?2,y?1,?x?0.1,?y?0.2时，?z,dz. x2210、z?u，而u?x?y，v?xy，求
?z?z,. ?x?y11、u?fx,x,e22?2?x?，求du.
dx?z?z?2z12、x?2y?3z?xy?z?9?0，在x?1,y??2,z?1处的,,.
?x?y?x?y2?x?u?v?u?u13、求由方程组确定的隐函数的偏导?，求,. 22y?u?v?x?y?14、求曲线?:??x?y?z?01??1在点M,?,0?处的切线和法平面. 0?2222??2?x?y?z?12315、求曲线x?t,y?t,z?t上的点，使该点的切线平行于平面：x?2y?z?4.
