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在?ABC中，由余弦定理得
AB2?AC2?BC2?2AC?BCcos?BCA
?3?(所以，AB?26?226?2)?23??cos75?5， ………………………9分 225． ……………………………………………………10分
故施工单位应该准备电线长为5km. ………………………………………………12分
22.(本小题满分12分)
已知A,B,C为锐角△ABC的内角，a?，b?(1,?2)，a?b. （sinA,sinBsinC）（1）tanB，tanBtanC，tanC能否构成等差数列？并证明你的结论； （2）求tanAtanBtanC的最小值.
（据2016年江苏卷第14题改编，三角变换、平面向量、数列及基本不等式的综合问题） 解：（1）依题意有sinA?2sinBsinC. ……………………………………………2分 在△ABC中，A???B?C，
所以sinA?sin（B+C）=sinBcosC?cosBsinC，………………………………3分 所以2sinBsinC=sinBcosC?cosBsinC. …………………………………4分 因为△ABC为锐角三角形，所以cosB?0,cosC?0，所以
tanB?tanC?2tanBtanC， ……………………………………………5分 所以tanB，tanBtanC，tanC成等差数列. ……………………………………6分
（2）法一：在锐角△ABC中，
tanB?tanC，……………………7分
1?tanBtanC即tanAtanBtanC?tanA?tanB?tanC， ……………………………………8分 由（1）知tanB?tanC?2tanBtanC，于是 tanA?tan(??B?C)??tan(B?C)??tanAtanBtanC?tanA?2tanBtanC?22tanAtanBtanC， …………10分
整理得tanAtanBtanC?8， …………………………………………11分 当且仅当tanA?4时取等号，
故tanAtanBtanC的最小值为8. …………………………………………12分 法二：由法一知tanA??tanB?tanC， ………………………………………7分
1?tanBtanC优质文档
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由（1）知tanB?tanC?2tanBtanC，于是
tanB?tanC2(tanBtanC)2tanAtanBtanC???tanBtanC??， ……8分
1?tanBtanC1?tanBtanC令tanBtanC?x(x?1)，则
2x22tanAtanBtanC??2(x?1)??4?8，……………………………11分
x?1x?1当且仅当x?2，即tanA?4时取等号，
故tanAtanBtanC的最小值为8. …………………………………………12分
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