x2y2
所以椭圆C：4＋2＝1. (2)当直线l与x轴重合时，
→·→＝0；
不妨取A(－2,0)，B(2,0)，此时MAMB
当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x＝ty＋1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
?x＝ty＋1，联立?x2y2
?4＋2＝1
得(t2＋2)y2＋2ty－3＝0， －2t
－3
显然Δ>0，y1＋y2＝2，y1·y2＝2. t＋2t＋2→·→＝(x＋2)(x＋2)＋yy
所以MAMB1212＝(ty1＋3)(ty2＋3)＋y1y2 ＝(t2＋1)y1y2＋3t(y1＋y2)＋9 ＝(t＋1)2＋3t2＋9
t＋2t＋2
2
－3－2t
－3t2－3－6t2
＝＋9 2
t＋2－9t2－3＝2＋9
t＋215＝2. t＋2
→·→取最大值15. 当t＝0时，MAMB
2此时直线l方程为x＝1， ??6?6?
不妨取A?1，?，B?1，－?，
2?2???所以|AB|＝6. 又|MN|＝3，
136
所以△MAB的面积S＝2×6×3＝2.
11
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝4x4－2ax2，a∈R. (1)当a＝1时，求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)设函数g(x)＝(x2－2x＋2－a)ex－ef(x)，其中e＝2.71828…是自然对数的底数，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
解 (1)由题意f′(x)＝x3－ax，所以当a＝1时，f(2)＝2，f′(2)＝6， 因此曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程是y－2＝6(x－2)， 即6x－y－10＝0.
(2)因为g(x)＝(x2－2x＋2－a)ex－ef(x)，
所以g′(x)＝(2x－2)ex＋(x2－2x＋2－a)ex－ef′(x) ＝(x2－a)ex－e(x3－ax)＝(x2－a)(ex－ex)， 令h(x)＝ex－ex，则h′(x)＝ex－e， 令h′(x)＝0得x＝1，
当x∈(－∞，1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减， 当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增， 所以当x＝1时，h(x)min＝h(1)＝0， 也就说，对于?x∈R恒有h(x)≥0. 当a≤0时，g′(x)＝(x2－a)h(x)≥0， g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值； 当a>0时，令g′(x)＝0，可得x＝±a.
当x<－a或x>a时，g′(x)＝(x2－a)h(x)≥0，g(x)单调递增， 当－a 因此，当x＝－a时，g(x)取得极大值g(－a)＝(2a＋2)e－ ae ＋4a2； 当x＝a时，g(x)取得极小值g(a)＝(－2a＋2)e综上所述： ae＋4a2. 当a≤0时，g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值； 当a>0时，g(x)在(－∞，－a)和(a，＋∞)上单调递增，在(－a，a)上单调递减， 函数既有极大值，又有极小值， 极大值为g(－a)＝(2a＋2)e－极小值为g(a)＝(－2a＋2)eaae ＋4a2， e＋4a2. 请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号． 22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 ?x＝t， 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是?(t为参数)，曲线C的参 ?y＝t＋1?x＝2＋2cosφ， 数方程是?(φ为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极 ?y＝2sinφ坐标系． (1)求直线l和曲线C的极坐标方程； π?? (2)已知射线OP：θ1＝α?其中0<α<2?与曲线C交于O，P两点，射线OQ：θ2 ?? π ＝α＋2与直线l交于Q点，若△OPQ的面积为1，求α的值和弦长|OP|. 解 (1)直线l的普通方程为x－y＋1＝0，极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ＋1＝0， 曲线C的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，极坐标方程为ρ＝4cosθ. π?? (2)依题意，∵α∈?0，2?，∴|OP|＝4cosα， ??11 |OQ|＝ π?π??＝sinα＋cosα， ??? ?sin?α＋2?－cos?α＋2????????1 S△OPQ＝2|OP||OQ|＝ 2cosα ＝1， cosα＋sinα π?π? ∴tanα＝1，α∈?0，2?，∴α＝4，|OP|＝22. ??23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设函数f(x)＝|x－1|，g(x)＝|x－2|. (1)解不等式f(x)＋g(x)<2； (2)对于实数x，y，若f(x)≤1，g(y)≤1，求证：|x－2y＋1|≤5. 3－2x，x≤1，?? (1)令y＝|x－1|＋|x－2|，则y＝?1，1 ??2x－3，x≥2， 解 ?1? 作出函数y＝|x－1|＋|x－2|的图象(如图)，它与直线y＝2的交点为?2，2?和 ???5? ?2，2?. ?? ?15?所以f(x)＋g(x)<2的解集为?2，2?. ?? (2)证明：因为|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋2|(y－2)＋1|≤|x－1|＋2(|y－2|＋1)＝f(x)＋2g(y)＋2≤5，所以|x－2y＋1|≤5.
