111
f(2)＝log22－2＝1－2＝2＞0，
112
f(3)＝log23－3＞1－3＝3＞0，即f(1)·f(2)＜0， 1
∴函数f(x)＝log2x－x的零点在区间(1，2)内． 答案 C
3．(2014·山东卷)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是( ) 1??
A.?0，2? ??C．(1，2)
?1?
B.?2，1? ??D．(2，＋∞)
解析 由f(x)＝g(x)，∴|x－2|＋1＝kx，即|x－2|＝kx－1，所以原题等价于函数y＝|x－2|与y＝kx－1的图象有2个不同交点． 如图：
1
∴y＝kx－1在直线y＝x－1与y＝2x－1之间， 1
∴2＜k＜1，故选B. 答案 B
?3x－1，x＜1，
4．(2015·山东卷)设函数f(x)＝?x则满足f(f(a))＝2f(a)的a取值范围
?2，x≥1，是( ) ?2?A.?3，1? ???2?C.?3，＋∞? ??
B．[0，1] D．[1，＋∞)
解析 当a＝2时，f(a)＝f(2)＝22＝4＞1，f(f(a))＝2f(a)，∴a＝2满足题意，排除222?2?
A，B选项；当a＝3时，f(a)＝f?3?＝3×3－1＝1，f(f(a))＝2f(a)，∴a＝3满足题意，
??
排除D选项，故答案为C. 答案 C
5．(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )
π
解析 当点P沿着边BC运动，即0≤x≤4时，在Rt△POB中，|PB|＝|OB|tan∠POB＝tan x，在Rt△PAB中，|PA|＝|AB|2＋|PB|2＝4＋tan2x，则f(x)＝|PA|＋|PB|＝4＋tan2x＋tan x，它不是关于x的一次函数，图象不是线段，故排除A和C； π?π?当点P与点C重合，即x＝4时，由上得f?4?＝
??
ππ
4＋tan24＋tan4＝5＋1，又当
π
点P与边CD的中点重合，即x＝2时，△PAO与△PBO是全等的腰长为1的等?π?腰直角三角形，故f?2?＝|PA|＋|PB|＝2＋2＝22，知
??D.综上，选B. 答案 B 二、填空题
?－x＋6，x≤2，
6．(2015·福建卷)若函数f(x)＝?(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋
?3＋logax，x＞2∞)，则实数a的取值范围是________．
?π??π?f?2?＜f?4?，故又可排除????
?a＞1，
解析 由题意f(x)的图象如图，则?∴1＜a≤2.
3＋log2≥4，?a答案 (1，2]
x
?2－a，x≤0，
7．(2015·青州模拟)若函数f(x)＝?有两个不同的零点，则实数a的
?ln x，x＞0
取值范围是________．
解析 当x＞0时，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1. 因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时， 函数f(x)＝2x－a有一个零点，令f(x)＝0得a＝2x， 因为0＜2x≤20＝1，所以0＜a≤1， 所以实数a的取值范围是0＜a≤1. 答案 (0，1]
8．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对?x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立．当f（x1）－f（x2）
x1，x2∈[0，2]，且x1≠x2时，都有＜0，给出下列命题：
x1－x2①f(2)＝0；
②直线x＝－4是函数y＝f(x)图象的一条对称轴； ③函数y＝f(x)在[－4，4]上有四个零点； ④f(2 014)＝0.
其中所有正确命题的序号为________．
解析 令x＝－2，得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，解得f(－2)＝0，因为函数f(x)为偶函数，所以f(2)＝0，①正确；因为f(－4＋x)＝f(－4＋x＋4)＝f(x)，f(－4－x)＝f(－4－x＋4)＝f(－x)＝f(x)，所以f(－4＋x)＝f(－4－x)，即x＝－4是函数f(x)的一条对称轴，②正确；当x1，x2∈[0，2]，且x1≠x2时，都有
f（x1）－f（x2）
＜0，说
x1－x2
明函数f(x)在[0，2]上是单调递减函数，又f(2)＝0，因此函数f(x)在[0，2]上只有一个零点，由偶函数知函数f(x)在[－2，0]上也只有一个零点，由f(x＋4)＝f(x)，知函数的周期为4，所以函数f(x)在(2，4]与[－4，－2)上也单调，因此，函数在
[－4，4]上只有2个零点，③错；对于④，因为函数的周期为4，即有f(2)＝f(6)＝f(10)＝…＝f(2 014)＝0，④正确． 答案 ①②④ 三、解答题
1a
9．定义在[－1，1]上的奇函数f(x)，已知当x∈[－1，0]时，f(x)＝4x－2x(a∈R)． (1)写出f(x)在[0，1]上的解析式； (2)求f(x)在[0，1]上的最大值．
解 (1)∵f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数， ∴f(0)＝0，∴a＝1，
11∴当x∈[－1，0]时，f(x)＝4x－2x. 设x∈[0，1]，则－x∈[－1，0]， ∴f(－x)＝
11xx－x－－x＝4－2， 42
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝2x－4x. ∴f(x)在[0，1]上的解析式为f(x)＝2x－4x. (2)f(x)＝2x－4x，x∈[0，1]，
?1?21
令t＝2，t∈[1，2]，g(t)＝t－t＝－?t－2?＋4，
??
x
2
∴g(t)在[1，2]上是减函数，
∴g(t)max＝g(1)＝0，即x＝0，f(x)max＝0.
10．(2015·太原模拟)已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)在区间[2，3]上有最大值5，最小值2. (1)求a，b的值；
(2)若b＜1，g(x)＝f(x)－2mx在[2，4]上单调，求m的取值范围． 解 (1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a. ①当a＞0时，f(x)在[2，3]上为增函数， ?f（3）＝5，?9a－6a＋2＋b＝5，?a＝1，
故????? ?f（2）＝2?4a－4a＋2＋b＝2?b＝0.②当a＜0时，f(x)在[2，3]上为减函数，
