间；P为复数域，V就称为复线性空间．
例 1.按通常向量的加法与数乘运算，由全体实n维向量组成的集合，在实数域R上构成一个实线性空间，记为R；由全体复n维向量组成的集合，在复数域C上构成—个复线性空间，记为C．
例2.按照矩阵的加法及数与矩阵的乘法，由数域P上的元素构成的全体
nnm?n矩阵所成的集合，在数域P上构成一个线性空间，记为Pm?n．而其中秩为
r(r?0)的全体矩阵所成的集合R则不构成线性空间，为什么？（事实上，零
r矩阵O?Rr）．
例3.按通常意义的函数加法和数乘函数，闭区间?a,b?上的连续函数的全体所成的集合，构成线性空间C?a,b?．
例4. 设R?＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为x?y?xy,
k?x?xk。证明：R?是实数域R上的线性空间．
证：首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性。唯一性和封闭性．唯一性显然，若x?0,y?0,k?R，则有：x?y?xy?R?，kox?xk?R?， 封闭性得证．
其次，八条性质。
（1）x?(y?z)?x(yz)?(xy)z?x?(y?z) （2） x?y?xy?yx?y?x （3） 1是零元素．x?1?x （4）
111是x的负元素 ?x?x??1 xxx（5） k?(x?y)?(xy)k?xkyk?(k?x)?(k?y) [数因子分配律] （6） (k?l)?x?xk?l?(k?x)?(l?x) [分配律] （7） k?(l?x)?(xl)k?xkl?(kl)?x [结合律] （8） 1?x?x1?x [恒等律]
由此可证，R?是实数域R上的线性空间． 证毕
3.线性空间的基本性质：
（1） 零元素是唯一的，任一元素的负元素也是唯一的． （2） 如下恒等式成立： 0x??，(?1)x?(?x)．
4.线性组合与线性表示，线性相关与线性无关性，维数
定义1.5 线性组合：?x1,x2,?,xm?V,c1,c2,?,cm?P,
c1x1?c2x2???cmxm??cixi?x，
i?1mx称为元素组x1,x2,?,xm的一个线性组合．
定义1.6 线性表示：V中某个元素x可表示为其中某个元素组的线性组合，则称x可由该元素组线性表示．
定义1.7 设V是数域P上的线性空间，x1,x2,?,xn是V的一组向量，如果P中有一组不全为零的数k1,k2,?,kn，使得
k1x1?k2x2???knxn?0 (1.1)
则称向量x1,x2,?,xn线性相关；若等式(1.1)仅当k1?k2???kn?0时才能成立，则称这组向量是线性无关的．线性空间V中最大线性无关元素组所含元素个数称为V的维数，记为dimV．
§2 基变换与坐标变换
1．线性空间的基与坐标
定义2.1 设V是数域P上的线性空间, x1,x2,?,xr(r?1)，是属于V的r个任意元素，如果它满足
（1）x1,x2,?,xr线性无关；
（2）V中任一向量x均可由x1,x2,?,xr线性表示．
则称x1,x2,?,xr为V的一个基或基底，并称x1,x2,?,xr为该基的基元素．
基正是V中最大线性无关元素组, V的维数正是基中所含元素的个数．基通常是不唯一的，但不同的基所含元素个数相等．线性空间的维数是确定的，不会因选取不同的基而改变．
例1:考虑全体复数所形成的集合C．如果P?C（复数域），则该集合对复数加法和复数的乘法构成线性空间，其基可取为1，空间维数为1；如果取P?R（实数域），则该集合对复数加法及实数对复数的数乘构成线性空间，其基可取为{1,i}，空间维数为2．
定义2.2 称线性空间Vn的一个基x1,x2,?,xn为Vn的一个坐标系，?x?Vn，它在该基下的线性表示为：
x???ixi，（?i?P,xi?V,i?1,2,?,n ）
i?1n则称?1,?2,?,?n为x在该坐标系中的坐标或分量，记为(?1,?2,?,?n)T.
一般来说，线性空间及其元素是抽象的对象，不同空间的元素完全可以具有千差万别的类别及性质．但坐标表示却把它们统一了起来，坐标表示把这种差别留给了基和基元素，由坐标所组成的新向量仅由数域中的数表示出来．
更进一步，原本抽象的“加法”及“数乘”经过坐标表示就演化为向量加法及数对向量的数乘．
?x?(?1,?2,?,?n)T?x?y?(?1??1,?2??2,?,?n??n) 1 ?Ty?(?,?,?,?)12n??2? x?(?1,?2,?,?n)T?kx?(k?1,k?2,?,k?n)T
2.基变换与坐标变换
定义2.3 设x1,x2,?,xn是Vn的旧基，y1,y2,?,yn是Vn的新基，它们可以相互线性表示
?c11c12?cc22即 ?y1,y2,?,yn???x1,x2,?,xn??21?????cn1cn2?c1n??c2n????x,x,?,x?C （1.2）
12n?????cnn?其中C称为由旧基改变为新基的过渡矩阵，而称式（1.2）为基变换公式．可以证明，过渡矩阵C是非奇异矩阵．
??1????nn设x?V，它在旧基下的线性表示为x???ixi??x1,x2,?,xn??2?，它在新
???i?1????n???1????n基下的线性表示为x???iyi??y1,y2,?,yn??2?，由于基元素的线性无关性，
???i?1????n?得到坐标变换关系
??1???1???????2?y1,y2,?,yn?????x1,x2,?,xn??2? ,
????????????n???n?则
??1???1???1???1?????????????222?1C?????????C?2? ????????????????????????n??n??n???n?上式给出了在基变换式下向量坐标的变换公式．
例1已知矩阵空间R2?2的两个基：
?10??10??01??01?A?A?A?（1）A1??，，， 234????????0?1??10???10??01??11??11??11??10?（2）B1???，B2??10?，B3??00?，B4??00? 11????????求由基（1）改变为基（2）的过渡矩阵．
解 为了计算简单，采用中介基的方法．引入简单基：
