第十三章 函数列与函数项级数
一、证明题
1.讨论下列函数列或函数项级数在所示区间D上是否一致收敛，并说明理由：
2(1) fn(x)=x?1,n=1,2,…,D=(-1,1); n2(2) fn(x)=
x,n=1,2,…D=(-∞,+∞); 221?nx(3) fn(x)=
1??(n?1)x?1, 0?x???n?1 (n=1,2……); ??0, 1?x?1?n?1?x, n=1,2,…, (i) D=[0,+∞]; (ii) D=[0,1000]; nx(5) fn(x)=sin, n=1,2,…, (i) D=[-L,L]; (ii) D=[-∞,+∞];
n(4) fn(x)=
(?1)n?1(6) ?2, D=[-∞,+∞];
x?nx2?1?,10(7) ?, (i) D=[-∞,+∞]; (ii) D=. 2n?1??(1?x)?10?2. 证明:设f(x)→f(x),x∈D; an→0(n→∞),(an>0),若对每一个自然数n.有
|fn(x)-f(x)|≤an, x∈D, 则{fn}在D上一致收敛于f.
3. 设{fn}为定义在[a,b]上的函数列,且对每一个n,fn在点a右连续,但{fn(an)}是发散的,证明在任何开区间(a,a+δ)这里(a+δ 4. 设函数项级数 ?un(x)在D上一致收敛于S(x),函数 g(x)在D上有界,证明级数g(x)S(x). ?g(x)u(x)在D n上一致收敛于 5. 若在区间I上,对任何自然数n, |un(x)|≤Vn(x), 证明当 ?v?un(x)在I上一致收敛时,级数 ?un(x)在I也一致收敛. 6. 设un(x)(n=1,2,…)是[a,b]上的单调函数,证明:若 n(a)与 ?un(b)都绝对收敛,则级数 ?un(x)在[a,b]上绝 对并一致收敛. 7. 在[0,1]上定义函数列 1?1, x???nnun(x)?? n?1,2? 1?0, x??n?证明: 级数数. 8. 证明:级数 ?u?n(x)在[0,1]上一致收敛,但它不存在优级 ?(-1)n?0nxn(1-x)在[0,1]上绝对并一致收敛, 但由其各项绝对值组成的级数在[0,1]上却不一致收敛. 9. 设f为定义在区间(a,b)内的任一函数,记fn(x)=f. 10. 设{un(x)}为[a,b]上正的递减且收敛于零的函数列,每一个un(x)都是[a,b]上的单调函数.则级数 u1(x)-u2(x)+u3(x)-u4(x)+… 在[a,b]上一致收敛. 11. 证明: 若函数列{fn}在[a,b]上满足定理13.10的条件,则{fn}在[a,b]上一致收敛. 12. 证明: 函数f(x)=的导函数. 13. 证明: 定义在[0,2π]上的函数项级数 ?rcosnxnn?0?[nf(x)],n=1,2,……,证明函数列{fn}在(a,b)内一致收敛于nsinnx?n3在(-∞,+∞)上连续,且有连续
