第2个图案中黑色棋子的个数是13?5?2?3 第3个图案中黑色棋子的个数是18?5?3?3 ?
发现规律：
第n个图案中黑色棋子的个数是(5n?3)． 故答案为：(5n?3)． 三．解答题（共8小题）
19．先观察下列各组数，然后回答问题． 第1组：1，2，3． 第2组：2，3，5． 第3组：3，4，7． 第4组：4，5，9． ??
（1）根据各组数反映的规律，直接用含n的代数式表示第n组的三个数； （2）以其中任意一组的三个数为边长所组成的三角形的形状是 直角三角形 ．【解答】解：（1）由题意可得：第n组的三个数分别为：n，n?1，2n?1；
（2）Q(n)2?(n?1)2?n?n?1?2n?1， (2n?1)2?2n?1，
?(n)2?(n?1)2?(2n?1)2，
?以其中任意一组的三个数为边长所组成的三角形的形状是直角三角形．
故答案为：直角三角形． 20．观察下列等式； 32?12?4?1?4①；
42?22?4?2?4②；
52?32?4?3?4③；
??
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请根据上述规律，解答下列问题： （1）直接写出第4个等式；
（2）猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明， 【解答】解：（1）第4个等式为：62?42?4?4?4； （2）猜想第n个等式为：(n?2)2?n2?4n?4．
证明：Q等式左边?(n?2)2?n2?4n?n2?4n?4?n2?4n?4?等式右边，
?(n?2)2?n2?4n?4．
21．观察下列数据的规律，完成各题的解答：
（1）第8行的最后一个数是 64 ；
（2）第n行的第一个数是 ，第n行共有 个数． 【解答】解：（1）观察数据规律可知： 第n行最后一个数是n2， 则第8行的最后一个数是64； 故答案为64；
（2）第n行的第一个数是第n?1行最后一个数加上1， 即(n?1)2?1； 因为第1行有1个数， 第2行有3个数， 第3行有5个数， ?
发现规律，
第n行共有(2n?1)个数． 故答案为：(n?1)2?1，(2n?1)．
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111111111111422．观察下列等式的规律： ????1????????1??；
1?22?33?44?5223344555111112019的值为 ； ??????1?22?33?44?52019?2020202011111（2）化简：． ??????1?22?33?44?5n?(n?1)（1）请直接写出
【解答】解：（1）原式?1??1??1 20201111111 ????????22334201920202019； 20202019； 2020111111111 ??????????2233445nn?1故答案为：
（2）原式?1??1??1 n?1n． n?123．观察以下等式：
12第1个等式：??(1?12)?2；
11?112第2个等式：??(2?22)?2；
22?112第3个等式：??(3?32)?2；
33?112第4个等式：??(4?42)?2；
44?112第5个等式：??(5?52)?2；
55?1??
按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第7个等式： 12??(7?72)?2 ； 77?1（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并加以证明．
【解答】解：（1）通过观察不难知道等式右边都等于2，等式左边：第一个因式的分子为1，分母与等式序号数相等；第二个因数分子为2，分母是等式的序号数加1；第三个因数是等式序号数与序号数的平方之和．
12?写出第7个等式为：??(7?72)?2
77?1
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12故答案为：??(7?72)?2；
77?1
12（2）第n个等式：??(n?n2)?2．
nn?1证明：左边?122??(n?n2)?2?(n?n2)?2?右边． nn?1n?n24．用黑白棋子摆出下列一组图形，根据规律可知．
（1）在第n个图中，白棋共有 1n(n?1) 枚，黑棋共有 枚； 2（2）在第几个图形中，白棋共有300枚；
（3）白棋的个数能否与黑棋的个数相等？若能，求出是第几个图形，若不能，说明理由． 1【解答】解：（1）由题意得：在第n个图中，白棋共有n(n?1)枚，黑棋共有(3n?6)枚；
21故答案为：n(n?1)，(3n?6)；
21（2）n(n?1)?300，解得：n?24（已舍去负值）
2故在第24个图形中，白棋共有300枚； 1（3）n(n?1)?3n?6，
2解得：n?5?73为无理数， 2所以白棋的个数不能与黑棋的个数相等． 25．观察下列图形与等式： ?22?12?2?1?1?1；
图（1）
?32?22?3?1?2?1；
图（2）
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