课时作业6 平面向量
→→
1．[2019·北京八十中学月考]已知向量i与j不共线，且AB＝i＋mj，AD＝ni＋j，m≠1.若A，B，D三点共线，则mn＝( )
1
A. B．2 2C．1 D．－3
?→→→→?1＝λn，
解析：∵A，B，D三点共线，∴AB∥AD，设AB＝λAD，则?
??m＝λ，
∴mn＝1.故选C.
答案：C
2．[2019·湖南重点中学联考]已知m＝(5,12)，则与m方向相同的单位向量的坐标是( )
A.?C.?
?5，12? B.?3，4?
??55??1313???
31??31??
，? D.?－，? ?22??22?
2
解析：设所求向量为n＝λm(λ>0)，∵m＝(5,12)，∴n＝(5λ，12λ)．∵|n|＝1，∴25λ1?512?2
＋144λ＝1，得λ＝，∴n＝?，?.故选A.
13?1313?
答案：A
3．[2019·河北邢台月考]若向量a＝(1,2)，b＝(－2,1)，c＝(3，－4)，则c＝( ) A．3a＋b B．2a－b C．－a－2b D．a－3b
??3＝λ－2μ，
解析：设c＝λa＋μb，∵a＝(1,2)，b＝(－2,1)，c＝(3，－4)，∴?
?－4＝2λ＋μ，???λ＝－1，
∴?
?μ＝－2，?
∴c＝－a－2b.故选C.
答案：C
4．[2019·河南安阳一模]已知向量a＝(1，－1)，b＝(－1,0)，若λa－b和2a＋b共线，则λ＝( )
1A．2 B. 2C．－1 D．－2
解析：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,0)，∴λa－b＝(λ＋1，－λ)，2a＋b＝(1，－2)，又
- 1 -
λa－b和2a＋b共线，∴－λ＝－2(λ＋1)，∴λ＝－2.故选D.
答案：D
5．[2019·四川绵阳一诊]已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，若a⊥b，则x＝( ) A．2 B．－2 C．1 D．－1
解析：∵a＝(1,2)，b＝(x,1)且a⊥b，∴a·b＝x＋2＝0，∴x＝－2.故选B. 答案：B
→→
6．[2019·湖南重点中学联考]在△ABC中，AB＝1，AC＝3，AB·BC＝1，则△ABC的面积为( )
1
A. B．1 2C.
5
D.5 2
→
→
→
→
→
→
→
→
22
解析：AB·BC＝AB·(AC－AB)＝|AB|·|AC|·cos A－|AB|＝1，∴cos A＝，∴sin A3＝
5155
，∴△ABC的面积S＝×1×3×＝.故选C. 3232答案：C
→→→1→→1→
7．[2019·辽宁沈阳联考]在△ABC中，AB＝a，AC＝b，AM＝AB，AN＝AC，BN与CM交
23→
于点P，则AP＝( )
1221A.a＋b B.a＋b 33551111C.a＋b D.a＋b 6342解析：
→→→1
如图，M，P，C三点共线，则AP＝mAC＋(1－m)AM＝mb＋(1－m)a(m∈R)，又N，P，B三
2
→→→1
点共线，所以AP＝nAB＋(1－n)AN＝na＋(1－n)b(n∈R)，所以
3
???1??m＝3?1－n?，
n＝?1－m?，
1
2
解得m＝
- 2 -
→2112
，n＝，所以AP＝a＋b.故选B. 5555
答案：B
8．[2019·辽宁葫芦岛六中月考]已知a＝(2sin 13°，2sin 77°)，|a－b|＝1，a与aπ
－b的夹角为，则a·b＝( )
3
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：∵a＝(2sin 13°，2sin 77°)＝(2sin 13°，2cos 13°)，∴|a|＝2，又|a－b|π2
＝1，a与a－b的夹角为，∴a·(a－b)＝1，即a－a·b＝1，∴a·b＝3.故选B.
3
答案：B
9．[2019·广西南宁摸底]若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角的余弦值是( )
11A. B．－ 22C.
33 D．－ 22
解析：结合向量加减法的平行四边形法则和三角形法则可知a＋b，a－b，分别为以a，b为邻边的平行四边形的对角线对应的向量，因为|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，所以此平行四边形π2π
是矩形，且对角线与矩形的较长边的夹角为，数形结合可知向量a＋b与a－b的夹角为，
631
夹角的余弦值为－.故选B.
2
答案：B
10．[2019·湖南怀化重点中学第三次联考]如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满→→→→1
足BD＝DC，过点D任意作直线分别交直线AB，AC于点M，N，若AM＝mAB，AN＝nAC，则( )
2
A．m＋n＝2 B．2m＋n＝3 1121C.＋＝2 D.＋＝3
mnmn - 3 -
→→→→→
解析：连接AD，因为M，D，N三点共线，所以AD＝λAM＋(1－λ)AN＝λmAB＋(1－λ)nAC.→1→→→→→1→→1→1→2→1→1
又BD＝DC，所以BD＝BC，所以AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋AC－AB＝AB＋AC，于是
23333332λm＝，??3?1?1－λ?n＝，??3
答案：D
11．[2019·江西南昌二中期末]已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )
21
解得＋＝3.故选D.
mn?1?A.?－，＋∞? B．(2，＋∞) ?2??1??1?C.?－，2?∪(2，＋∞) D.?－，0?∪(0，＋∞) ?2??2?
1
解析：∵a与b的夹角为钝角，∴－2λ－1<0，即λ>－.又a≠μb(μ<0)，∴λ≠2，
2
?1?∴λ的取值范围是?－，2?∪(2，＋∞)．故选C. ?2?
答案：C
→→→→→→
12．[2019·山东淄博一中期中]已知|OA|＝3，|OB|＝2，OC＝mOA＋nOB，m，n∈R，若OA→→→m与OB的夹角为60°，且OC⊥AB，则的值为( )
n11A. B. 46C．6 D．4
→→→→→→→→解析：通解 ∵|OA|＝3，|OB|＝2，OA与OB的夹角为60°，∴OA·OB＝3.又OC⊥AB，→→→→→→→→→→→→→2
∴OC·AB＝0.又OC＝mOA＋nOB，AB＝OB－OA，∴(mOA＋nOB)·(OB－OA)＝0，即－mOA＋(m－→→→2m1
n)OA·OB＋nOB＝0，∴－9m＋3m－3n＋4n＝0，∴n＝6m，∴＝.故选B.
n6
- 4 -
