解答题分类特训(六) 概率与统计(B)
(建议用时：30分钟) (见提升特训P152)
1．(2019·江西九校联考)某商场营销人员进行某商品M市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到的数据如表所示．
反馈点数t 销量(百件/天) 1 0.5 2 0.6 3 1 4 1.4 5 1.7 (1)经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品销量y(单位：百件)与返还点数t之^^^间的相关关系，请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程y＝bt＋a，并预测若返回6个点时该商品每天的销量；
(2)若节日期间营销部对商品进行新一轮调整．已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值(百分比表示)进行了一个抽样调查，得到的频数表如表所示．
预期值区间 频数 [1,3) 20 [3,5) 60 [5,7) 60 [7,9) 30 [9,11) 20 [11,13) 10 ①求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值X的样本平均数及中位数的估计值(同一区间的预期值可用该区间的中点值代替，估计值精确到0.1)；
②将对返点点数的心理预期值在[1,3)和[11,13)的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，设抽出的3人中 “欲望紧缩型”消费者的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
11
－＝×(0.5＋0.6＋1＋1.4＋1.7)＝1.04，解析 (1)易知 t－＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3， y
55
22222
?tiyi＝1×0.5＋2×0.6＋3×1＋4×1.4＋5×1.7＝18.8，?t2i＝1＋2＋3＋4＋5＝55，b＝i＝1
i＝1
5
5
^
－?tiyi－5 t－ y
i＝1
5
5
＝－2?t2i－5 t
i＝1
18.8－5×3×1.04^^^
y－－b t－＝1.04－0.32×3＝0.08，则y关＝0.32，a＝
55－5×32
^^
于t的线性回归方程为y＝0.32t＋0.08，当t＝6时，y＝2.00，即返回6个点时该商品每天的销量约为200件．
(2)①根据题意，这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值X的平均值－x＝2×0.1＋4×0.3＋6×0.3＋8×0.15＋10×0.1＋12×0.05＝6，
100－20－602中位数的估计值为5＋2×＝5＋≈5.7.
603
20
②抽取6名消费者中“欲望紧缩型”消费者人数为6×＝4，“欲望膨胀型”消费者人
30
21
10C11C234C24C2
数为6×＝2，所以X所有可能的取值为1,2,3，则P(X＝1)＝3＝，P(X＝2)＝3＝，30C65C650C34C21
P(X＝3)＝3＝.
C65
故随机变量X的分布列为
X P 1 1 52 3 53 1 5131所以数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＝2.
555
2．(2019·湖北武汉调考)十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加．为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如图所示的频率分布直方图．
－ (单位：千元)(同一组数据用该组(1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年收入 x数据区间的中点值表示)；
(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似值为年平均收入－x，σ2近似为样本方差S2，经计算得S2＝6.92.利用该正态分布，求：
①在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民年收入高于扶贫办指定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？
②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1 000位农民．若每个农民的年收入相互独立，则这1 000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？
附：6.92≈2.63，若X～N(μ，σ2)，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.997 3.
－＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋解析 (1) x24×0.04＝17.40(千元)．
(2)由题意知X～N(17.40,6.92)． 10.682 7
①P(x＞μ－σ)＝＋≈0.841 4，
22
所以μ－σ≈17.40－2.63＝14.77时，满足题意，即最低年收入大约为14.77千元． ②由P(X≥12.14)＝P(X≥μ－2σ)＝0.5＋12.14千元的事件概率为0.977 3，
记1 000个农民的年收入不少于12.14千元的人数为ξ， 则ξ～B(1 000，p)，其中p＝0.977 3，
k1 000
于是恰好有k个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率是P(ξ＝k)＝Ck1 000p(1－p)－k，
0.954 5
≈0.977 3，得每个农民的年收入不少于2
从而由
?1 001－k?×p＝＞1，得k＜1 001p，
P?ξ＝k－1?k×?1－p?
P?ξ＝k?
因为1 001p＝978.277 3，所以当0≤k≤978时，P(ξ＝k－1)＜P(ξ＝k)，当979≤k≤1 000时，P(ξ＝k－1)＞P(ξ＝k)．
由此可知，这1 000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978.
