2014年广东各市理数二模试题汇编2：概率统计（解答题）
参考公式：K2?参考数据：
n(ad?bc)2，其中n?a?b?c?d为样本容量。
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
1.（广州二模）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为?5,15?，?15,25?，?25,35?，?35,45?， 由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3.（1）求a的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i组的频率为pi，第i组区间的中点值为
xi?i?1,2,3,频率,n?，则样本数据的平均值为X?x1p1?x2p2?x3p3??xnpn.） 组距（3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在?5,15?内的小球个数
为?，求?的分布列和数学期望. 解：(1)
0.032a0.020.018?0.02?0.032?x?0.018??10?1，?x?0.03?2分
（2）X?0.2?10?0.32?20?0.3?30?0.18?40?24.6（克）?3分
O51525图33545重量/克由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克.?4分
1?.?5分 （3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在?5,15?内的概率为0.2，则?B?3,???5??的取值为0,1,2,3， ?????6分
1.?1048， ?1??4?12,64，3?1??4?1?1??4?P???3??C3P???2??C32??????P???1??C3P???0??C?????????????5?125?5??5?125?5??5?125?5?125322303分
∴?的分布列为：
? 0 1 2 3
P 64 48 12 1 125125125125
∴ E??3?1?3（或者E??0?5564481213?1??2??3??). ?????121251251251255分
2.（佛山二模）“行通济”是广东佛山一带在元宵节期间举行的游玩祈福活动，每到这一天，家
家户户都会扶老携幼，自清晨到夜幕，举着风车、摇着风铃、拎着生菜浩浩荡荡地由北到南走过通济桥，祈求来年平平安安、顺顺利利。为了了解不同年龄层次的人对这一传统习俗的参与度，现随机抽取年龄在20~80岁之间的60人，并按年龄层次?20,30?，?30,40?，?40,50?，?50,60?，
?60,70?，?70,80?绘制频率分布直方图如图所示，其中参与了2014年“行通济”活动的人数如下
表。若规定年龄分布在?20,60?岁的为“中青年人”，60岁以上（含60岁）为“老年人”.
1
（1）根据已知条件完成下面的2?2列联表， 并判断能否有99%的把握认为“老年人”比 “中青年人”更认同“行通济”这一民俗？ 有参与 没有参与 合计 “老年人”人数 “中青年人”人数 8 4 12 12 36 48 合计 20 40 60 （2）用样本估计总体，从全佛山市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为?，求随机变量?的分布列和数学期望.
答案：（1）k2?7.5?6.635,?有99%的把握认为“老年人”比“中青年人”更认同“行通济”这一民俗；
（2）E??3?1?3
553.（湛江二模）某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人，吴老师采用A、
B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教学实验。为了解教学效果，期末考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出的茎叶图如下： 记成绩不低于90分者为“成绩优秀”。
（1）在乙班样本的20个个体中，从不低于80分的成绩中随机抽取2个，记随机变量?为抽到“成绩优秀”的个数，求?的分布列及数学期望E?；
(2)由以上统计数据填写下面2?2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀”与教学方式有关？
解：（1）由题意得??0,1,2 ???????????????.1分
P(??0)?112C5?C4C525 ????.4分 C415?,P(??1)??,P(??2)??.C926C929C9218
∴?的分布列为：
15510E??0??1??2??.???.6
69189分
（2）根据列联表中的数据，K2?40?(1?15?5?19)?3.137
6?34?20?202由于3.137?2.706，所以有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关。???.12分
4.（深圳二模）某班联欢晚会玩飞镖投掷游戏,规则如下:每人连续投掷5支飞镖,累积3支飞镖掷中目标即可获奖;否则不获奖.同时要求在以下两种情况下中止投掷:①累积3支飞镖掷中目标;②累积3支飞镖没有掷中目标.已知小明同学每支飞镖掷中目标的概率是常数p(p?0.5),且掷完3支飞镖就中止投掷的概率为1.
3 (1)求p的值；(2)记小明结束游戏时，投掷的飞镖支数为X，求X的分布列和数学期望。. 答案：（1）p?2;（2）EX?107
327
2
5.（惠州二模）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放．．回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，记??x?2?y?x． ．
（1）求随机变量?的最大值，并求事件“?取得最大值”的概率； （2）求随机变量?的分布列和数学期望．
解：（1）?x、y可能的取值为1、2、3， ?x?2?1，y?x?2，
???3，且当x?1,y?3或x?3,y?1时，??3．因此，随机变量?的最大值为3．
?有放回抽两张卡片的所有情况有3?3?9种，?P(??3)?2．
9答：随机变量?的最大值为3，事件“?取得最大值”的概率为2． ???4分
9（2）?的所有取值为0,1,2,3．
???0时，只有x?2,y?2这一种情况， ???5分
??1时，有x?1,y?1或x?2,y?1或x?2,y?3或x?3,y?3四种情况，?6分
??2时，有x?1,y?2或x?3,y?2两种情况． ???7分
?P(??0)?21，4P(??1)?，P(??2)?． ??10
999分
则随机变量?的分布列为：
? P 0 1 91 492 29993 29 因此，数学期望E??0?1?1?4?2?2?3?2?14．????????12分
9996.（茂名二模）某次数学考试中有三道选做题，分别为选做题1、2、3．规定每位考生必须且只
1须在其中选做一题。甲、乙、丙三名考生选做这一题中任意一题可能性均为，每位学生对每题
3的选择是相互独立的，各学生的选择相互之间没有影响．（1）求这三个人选做同一道题的概率：
1（2）设?为三个人中做选做题l的人数，求?的分布列与均值； 答案：（1）; （2）E??1
97.（肇庆二模）为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在我市某普通中学高中生中随机抽取200名学生，得到如下2?2列联表： 喜欢数学课 不喜欢数学课 合计 男 30 60 90 女 20 90 110 合计 50 150 200 （1）根据独立性检验的基本思想，约有多大的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”？ （2）若采用分层抽样的方法从不喜欢数学课的学生中随机抽取5人，则男生和女生抽取的人数．．．分别是多少？
3
（3）从（2）随机抽取的5人中再随机抽取3人，该3人中女生的人数记为?，求?的数学期望.
200(30?90?60?20)2解：（1）∵K??6.061?5.024， （2
90?110?50?1502分）
∴约有97.5%以上的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”. （4分） （2）男生抽取的人数有：
6090?5?2（人），女生抽取的人数各有：?5?3（人）（660?9060?90分）
（3）由（2）得，男生抽取人数为2人，女生抽取人数为3人，?的取值为1，2，3.（7分）
1213C3C23，C32C2C36，1P(??1)?3?P(??2)?3?P(??3)?3?，
C510C510C510所以?的分布列为：
? P(?) 1 3 102 6 103 1 10所以?的数学期望为:E??1?361?2??3??1.8 （12101010分）
8.（韶关二模）袋中装有大小和形状相同的小球若干个黑球和白球，且黑球和白球的个数比为４:３,从中任取2个球都是白球的概率为1,现不放回从袋中摸取球，每次摸一球，直到取到白
7球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用?表示取球终止时所需要的取球次数. （1）求袋中原有白球、黑球的个数；（2）求随机变量?的分布列和数学期望. 解：（1）依题意设袋中原有3n个白球,则有4n个黑球. 由题意知 13n(3n?1)C32n3(3n?1)，?? ????42???7C72n7n?7n?1?7?7n?1?2分
即7n?1?9n?3，解得n?1，即袋中原有3个白球和4个黑球. ????5分 （2）依题意，?的取值是1,2,3,4,5.
??1，即第1次取到白球，P(??1)?3; ??2，即第2次取到白球P(??2)?4?3?2;
7767同理可得，P(??3)?4?3?3?765432131??106 43233;P(??4)?????; P(??5)??????765433535765435分
?的分布列为:
? 1 3 72 2 73 6 354 335 5 135 P EX?
32631?1??2??3??4??5?2????????????1277353535分
4
