→→→1→4→
(2)(2019·枣庄模拟)设D为△ABC所在平面内一点，AD＝－AB＋AC，若BC＝λDC
33(λ∈R)，则λ＝( )
A．2 B．3 C．－2 D．－3
→→→→→→→
(3)在△ABC中，点M，N满足AM＝2MC，BN＝NC.若MN＝xAB＋yAC，则x＝________；y＝________.
→→→→1→→11→→113→
(1)A (2)D (3) － [(1)EB＝AB－AE＝AB－AD＝AB－×(AB＋AC)＝AB－
2622241→
AC，故选A. 4
→→→→→→
(2)由BC＝λDC可知AC－AB＝λ(AC－AD)， →?1?→1→∴AD＝?1－λ?AC＋λAB，
??→1→4→
又AD＝－AB＋AC，
3311＝－??λ3，∴?14
1－??λ＝3.
解得λ＝－3，故选D. →→→1→1→(3)MN＝MC＋CN＝AC＋CB
321→1→→
＝AC＋(AB－AC) 321→1→＝AB－AC 26→→＝xAB＋yAC， 11∴x＝，y＝－.]
26
[规律方法] 向量线性运算的解题策略 ?1?向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则. ?2?找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.
→1→
(1)(2019·山西师大附中模拟)在△ABC中，AN＝NC，P是直线BN上一点，
4
→→2→
若AP＝mAB＋AC，则实数m的值为( )
5A．－4 B．－1 C．1 D．4
(2)(2019·皖南八校联考)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝→→→2DC，E为BC边上一点，BC＝3EC，F为AE的中点，则BF＝( ) 1→2→A.AB－AD 332→1→B．－AB＋AD
331→2→C．－AB＋AD
332→1→D.AB－AD 33
→1→→→(1)B (2)B [(1)∵AN＝NC，∴AC＝5AN.
4→→2→又AP＝mAB＋AC，
5→→→∴AP＝mAB＋2AN，
由B，P，N三点共线可知，m＋2＝1，∴m＝－1. →1→1→
(2)根据平面向量的运算法则得BF＝BA＋BE，
22→2→→→→
BE＝BC，BC＝AC－AB.
3→→→→1→因为AC＝AD＋DC，DC＝AB，
2
→1→1?→1→→?2→1→
所以BF＝－BA＋?AD＋AB－AB?＝－AB＋AD，故选B.]
23?332?
向量共线定理及其应用
【例2】 设两个非零向量a与b不共线，
→→→
(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
→→→
[解] (1)证明：∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)， →→→
∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b) →
＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB. →→
∴AB，BD共线，又∵它们有公共点B， ∴A，B，D三点共线． (2)∵ka＋b和a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a，b是两个不共线的非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0， ∴k2－1＝0，∴k＝±1.
→→
[母题探究] 若将本例(1)中“BC＝2a＋8b”改为“BC＝a＋mb”，则m为何值时，A，B，D三点共线？
→→
[解] BC＋CD＝(a＋mb)＋3(a－b) ＝4a＋(m－3)b， →
即BD＝4a＋(m－3)b.
→→
若A，B，D三点共线，则存在实数λ，使BD＝λAB. 即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)． ?4＝λ，∴?解得m＝7. m－3＝λ，?故当m＝7时，A，B，D三点共线． [规律方法] 共线向量定理的三个应用 ?1?证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线. →→?2?证明三点共线：若存在实数λ，使AB＝λAC，则A，B，C三点共线. ?3?求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程?组?求参数的值. 易错警示：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点. →→ (1)已知向量e1与e2不共线，且向量AB＝e1＋me2，AC＝ne1＋e2，若A，B，
C三点共线，则实数m，n满足的条件是( ) A．mn＝1 C．m＋n＝1
B．mn＝－1 D．m＋n＝－1
→→→→
(2)经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设OP＝mOA，OQ＝nOB，11
m，n∈R，则n＋m的值为________．
→
(1)A (2)3 [(1)因为A，B，C三点共线，所以一定存在一个确定的实数λ，使得AB＝→?1＝nλ，λAC，所以有e1＋me2＝nλe1＋λe2，由此可得?所以mn＝1.
?m＝λ，
→→→1→→→→→→1(2)设OA＝a，OB＝b，则OG＝(a＋b)，PQ＝OQ－OP＝nb－ma，PG＝OG－OP＝(a
331?1?
＋b)－ma＝?3－m?a＋b.
??3
→→
由P，G，Q共线得，存在实数λ使得PQ＝λPG， 1?1?
即nb－ma＝λ?3－m?a＋λb，
??3?1?－m???，－m＝λ??3?
从而?1
n＝??3λ，11
消去λ，得n＋m＝3.]
→→
1．(2015·全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则( ) →1→4→A.AD＝－AB＋AC
33→1→4→
B.AD＝AB－AC
33→4→1→
C.AD＝AB＋AC
33→4→1→
D.AD＝AB－AC
33
