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在???式中，令x?k?11?，得k?Nln???kk1k2?1k，即lnk?11，依次令k?1,2,3,...n，?k2k?1得ln213141n?11.将这n个式子左右两边分别相加，得?,ln?,ln?,...,ln?132537n2n?11111. ???...?3572n?1ln?n?1???2?22,121.解：(1)过?作圆x?y?1的切线，一条切线为直线y?1，切点S?0,1?.设另一条??2????2?22x?切线为y?1?k?，即.因为直线与圆x?y?1相切，则2kx?2y?2?2k?0???2??2?2k??y??22x?3?1.解得k??22.所以切线方程为y??22x?3.由?2，解得224k?4??x?y?1?221?T??3,3??，直线ST的方程为 ??1?123y?1?x.令x?0，则y?1所以上顶点的坐标为?0,1?，所以,即y?1?x?0??222?03b?1；令y?0，则x?2，所以右顶点的坐标为?2,0，所以a?2，所以椭圆?的方
?x2?y2?1. 程为2
(2) ①若直线 AB,CD斜率均存在，设直线AB:y?k?x?1?,A?x1,y1?,B?x2,y2?,则中点
??x1?x2?x1?x2???y?k?x?1?得M?,k??1??.先考虑k?0的情形.由?2222??????x?2y?2?0百度文库
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?1?2k?x22?4k2x?2k2?2?0.由直线AB过点F?1,0? ，可知判别式??0恒成立.由韦达
4k2?2k21?k?k定理，得x1?x2?，故，将上式中的换成，则同理可得?M,?22?k1?2k2?1?2k1?2k?k?2k22?2N?,?.若，得k??1，则直线 MN斜率不存在. 此时直线MN2222?1?2k2?k?2?k2?k?过点?,0?.下证动直线MN过定点P?,0?.
② 当直线AB,CD的斜率均存在且不为0时， 由①可知，将直线AB的方程代入椭圆方程中，
2222并整理得1?2kx?4kx?2k?2?0,所以
?2?3???2?3?????4k2?2k2?2222 AB?k?1x1?x2?k?1?x1?x2??4x1x2?k?1??4?2?21?2k?1?2k?2?1?22?12?2?22?k2?1?22k?1??22k?1?k??.同理，， ?k2?1?CD?22221?2k1?2kk?21?2k24?k?1?1122k?122?k?1?ABCD??221?2k2k2?22k4?2?5k2221?1???4?k??4?k??2k?k??????2?，因为2221??2k2?2?52?k?1??12k??????1kk?k???2222S四边形??1?1??2?k???1?2?2k??1?9，当且仅当k??1时取等号，所以
??k?k???0?162162?S四边形?2. ，即?,?2??2229991?1???2?k???12?k???1k?k???222所以，由A,C,B,D四点构成的四边形面积的取值范围为?,2?.
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