2019年湖南省长沙一中高考数学模拟试卷（理科）（一）
（5月份）
副标题
题号 得分 一 二 三 总分 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知集合A={x|（x+1）（x-2）≤0}，B={-1，0，1，2，3}，则A∩B=（ ）
A. {-1，0，1} B. {-1，0，1，2} C. {0，1，2} D. {0，1，2，3} 2. 已知i为虚数单位，复数z满足（1+2i）z=（1+i）（2-i），则|z|=（ ）
A.
3. 已知
B.
，则sin2α=（ ）
C.
D.
A. B.
C. D.
4. 一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面
的高度正好为棱长的一半．若将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ） A. 1 B. C. D.
5. 若非零向量、满足
，则在方向上的投影为（ ）
A. 4 B. 8 C. D.
6. 形状如图所示的2个游戏盘中（图①是半径为2和4的两个同心圆，O为圆心；图②是正六边形，点P为其中心）各有一个玻璃小球，依次摇动2个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏，则一局游戏后，这2个盘中的小球都停在阴影部分的概率是（ ）
A.
7. 若函数
B. C. D.
，且f（α）=2，f（β）=0，|α-β|的最小值是，
则f（x）的单调递增区间是（ ）
第1页，共19页
A. C.
B. D.
8. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊
蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为（ ） A. 1.5尺 B. 2.5尺 C. 3.5尺 D. 4.5尺
22
9. 平面直径坐标系xOy中，动点P到圆（x-2）+y=1上的点的最小距离与其到直线
x=-1的距离相等，则P点的轨迹方程是（ ） A. y2=8x B. x2=8y C. y2=4x D. x2=4y 10. 已如定点P（1，9），动点Q（x，y）在线性约東条件
所表示的平面
区域内，则直线PQ的斜率k的取值范围为（ ） A. [-1，7] B. [-7.1] C. （-∞，-1]∪[7，+∞） D. [-9，-1]∪[7，+∞）
11. 已知三棱锥P-ABC的棱AP、AB、AC两两垂直，且长度都为，以顶点P为球心
2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于（ ）
A. B. C. π D.
3
12. 已知函数f（x）=-x+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）=3lnx的图象上存
在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（ ）
A. [0，e3-4]
B. [0，+2]
C. [+2，e3-4] D. [e3-4，+∞）
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知双曲线
的一条新近线的斜率为
，则此双曲线的离心率
为______．
14. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，若S3=a2+4a1，T5=243，则a1
的值为______．
52
15. 已知（2+ax）（1+x）的展开式中x的系数为15，则展开式中所有项的系数和为
______．
1414
16. 已知C的半衰期为5730年（是指经过5730年后，C的残余量占原始量的一半）．设
14-kxC的原始量为a，b=ae，经过x年后的残余量为b，残余量b与原始量a的关系如下：
14
k为一个常数．其中x表示经过的时间，现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时C
的残余量约占原始量约占原始量的76.7%．请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今______年．（已知log20.767≈-0.4） 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 如图，在平面四边形ABCD中，AB=2，AC=2，∠ADC=∠CAB=90°，设∠DAC=θ．
（1）若θ=60°，求BD的长度； （2）若∠ADB=30°，求tanθ．
第2页，共19页
C为圆周上一点，BC=3，18. 如图所示，圆O的直径AB=6，
平面PAC垂直圆O所在平面，直线PC与圆O所在平面所成角为60°，PA⊥PC． （1）证明：AP⊥平面PBC；
（2）求二面角P-AB一C的余弦值．
19. 已知椭圆
得的线段长为3． （1）求椭圆的方程；
（2）已知P为直角坐称平面内一定点，动直线l：
B两点，与椭圆交于A、
的离心率
，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截
当直线PA与直线PB的斜率均存在时，若直线PA与PB的斜率之和为与t无关的常数，求出所有满足条件的定点P的坐标．
第3页，共19页
20. 从甲、乙两种棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm）组成一个样本，
且将纤维长度超过315mm的棉花定为一级棉花．设计了如图茎叶图：
（1）根据以上茎叶图，对甲、乙两种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论（不必计算）； （2）从样本中随机抽取甲、乙两种棉花各2根，求其中恰有3根一级棉花的概率； （3）用样本估计总体，将样本频率视为概率，现从甲、乙两种棉花中各随机抽取1根，求其中一级棉花根数X的分布列及数学期望．
2
21. 已知函数f（x）=x-8x+alnx（a∈R）
（Ⅰ）当x=1时，f（x）取得极值，求a的值；
（Ⅱ）当函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）且x1≠1时，总有
成立，求m的取值范围．
22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
参数），以原点O
）
为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心的极坐标为（且经过极点的圆．
（1）求曲线C1的极坐标方程和C2的普通方程； （2）已知射线求线段AB的长．
第4页，共19页
C2交于点A，B分別与曲线C1，（点B异于坐标原点O），
