2008年中考专题讲座
第一讲：方案设计型问题 1---30页
第一讲 方案设计
一、知识网络梳理
通过动手操作来解决一些数学问题特别是作图题的设计，引导学生将所学的数学知识应用于实际，从数学角度对某些日常生活出现的问题进行设计性研究，有利于学生对数学知识的实践应用能力和动手操作能力的提高，是学为之用的教改精神的具体体现，是数学教改中的一大热点．这类题目不仅要求学生要有扎实的数学双基知识，而且要能够把实际问题中所涉及到的数学问题转化、抽象成具体的数学问题，具有很普遍的实际意义，是中考热点之一．
创新意识的激发，创新思维的训练，创新能力的培养，是素质教育中最具活力的课题，考查学生的创新意识和实践能力，将是今后数学中考命题的热点之一．
近年一些省市的中考数学题中涌现了立意活泼、设计新颖、富有创新意识、培养创新能力的要求学生自我设计题目．这类命题以综合考查阅读理解能力、分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表达能力和动手能力等．能与初中所学的重点知识进行联结．
题型1 设计图形题
几何图形的分割与设计在中考中经常出现，有时是根据面积相等来分割，有时是根据线段间的关系来分割，有时根据其它的某些条件来分割，做此类题一般用尺规作图．
题型2设计测量方案题
设计测量方案题渗透到几何各章节之中，例如：测量底部不能直接到达的小山的高，测量池塘的宽度，测量圆的直径等，此类题目解法不惟一，是典型的开放型试题．
题型3设计最佳方案题
此类题目往往要求所设计的问题中出现路程最短、运费最少、效率最高等词语，解题时常常与函数、几何联系在一起．
创新意识的激发，创新思维的训练，创新能力的培养，是素质教育中最具活力的课题，考查学生的创新意识和实践能力，将是今后数学中考命题的热点之一．
近年一些省市的中考数学题中涌现了立意活泼、设计新颖、富有创新意识、培养创新能力的要求学生自我设计题目．这类命题以综合考查阅读理解能力、分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表达能力和动手能力等．能与初中所学的重点知识进行联结．
二、知识运用举例
（一）方程、函数型设计题
例1．（07茂名市）已知甲、乙两辆汽车同时、同方向从同一地点．．．．．．．．A出发行驶． （1）若甲车的速度是乙车的2倍，甲车走了90千米后立即返回与乙车相遇，相遇时乙车走了1小时．求甲、乙两车的速度；
（2）假设甲、乙每辆车最多只能带200升汽油，每升汽油可以行驶10千米，途中不能再加油，但两车可以互相借用对方的油，若两车都必须沿原路返回到出发点A，请你设计一种方案使甲车尽可能地远离出发点A，并求出甲车一共行驶了多少千米？ 解：（1）设甲，乙两车速度分别是x千米/时和y千米/时，
?x?2y ．
x?1?y?1?90?2??x?120解之得：?．
y?60?根据题意得：?即甲、乙两车速度分别是120千米/时、60千米/时．
（2）方案一：设甲汽车尽可能地远离出发点A行驶了x千米，
乙汽车行驶了y千米，则
?x?y≤200?10?2． ∴2x≤200?10?3即x≤3000． ?x?y≤200?10?即甲、乙一起行驶到离A点500千米处，然后甲向乙借油50升，乙不再前进，甲再前进1000千米
返回到乙停止处，再向乙借油50升，最后一同返回到A点，此时，甲车行驶了共3000千米． 方案二：（画图法） 如图 甲借油50升，甲行1000千米 甲行500千米 甲再借油50升返回 乙行500千米
此时，甲车行驶了500?2?1000?2?3000（千米）．
方案三：先把乙车的油均分4份，每份50升．当甲乙一同前往，用了50升时，甲向乙借油50升，乙停止不动，甲继续前行，当用了100升油后返回，到乙停处又用了100升油，此时甲没有油了，再向乙借油50升，一同返回到A点．
此时，甲车行驶了50?10?2?100?10?2?3000（千米）．
例2．（07鄂尔多斯）有甲、乙两家通迅公司，甲公司每月通话的收费标准如图15所示；乙公司每月通话收费标准如表3所示．
表3 y(元)
月租费 通话费 40
2.5元 0.15元/分钟 20 O 100 200 t(分)
图15
（1）观察图15，甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是__________元；甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为_________元；
（2）李女士买了一部手机，如果她的月通话时间不超过100分钟，她选择哪家通迅公司更合算？如果她的月通话时间超过100分钟，又将如何选择？ 解：（1）20；0.2
（2）通话时间不超过100分钟选甲公司合算
设通话时间为t分钟（t?100），甲公司用户通话费为y1元，乙公司用户通话费为y2元． 则：y1?20?0.2(t?100)?0.2t
y2?25?0.15t
当y1?y2 即：0.2t?25?0.15t时，t?500 当y1?y2 即：0.2t?25?0.15t时，t?500 当y1?y2 即：0.2t?25?0.15t时，t?500
答：通话时间不超过500分钟选甲公司；500分钟选甲、乙公司均可；超过500分钟选乙公司．
例3．（04河北省）光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台.现将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区．
两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表： 每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金 A地区 1800元 1600元 B地区 1600元 1200元 （1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y(元)，求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说
明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；
（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提
出一条合理建议．
解：（1）若派往A地区的乙型收割机为x台，则派往A地区的甲型收割机为(30－x)台；派往B地
区的乙型收割机为（30－x）台，派往B地区的甲型收割机为（x－10）台．
∴y＝1600x＋1800(30－x)＋1200(30－x)＋1600(x－10)＝200x＋74000． x的取值范围是：10≤x≤30(x是正整数)． （2）由题意得200x＋74000≥79600，
解不等式得x≥28.由于10≤x≤30，∴x取28，29，30这三个值， ∴有3种不同分配方案．
① 当x＝28时，即派往A地区甲型收割机2台，乙型收割机28台；派往B
地区甲型收割机18台，乙型收割机2台．
② 当x＝29时，即派往A地区甲型收割机1台，乙型收割机29台；派往B
地区甲型收割机19台，乙型收割机1台．
③ 当x＝30时，即30台乙型收割机全部派往A地区；20台甲型收割机全部派往B
地区．
（3）由于一次函数y＝200x＋74000的值y是随着x的增大而增大的，所以，当x＝30时，
y取得最大值.如果要使农机租赁公司这50台联合收割机每天获得租金最高，只需x＝30，此时，y＝6000＋74000＝80000．
建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区；20台甲型收割要全部派往B
地区，可使公司获得的租金最高．
（二）统计型设计题
例4．（07江西省）某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分（满分为10分）： 方案1 所有评委所给分的平均数．
方案2 在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数． 方案3 所有评委所给分的中位数． 方案4 所有评委所给分的众数．
为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验．下面是这个同学的得分统计图：
人数 3 2 1 3.2
7.0 7.8 8 8.4 9.8 分数
（1）分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；
（2）根据（1）中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分． 解：（1）方案1最后得分：
1(3.2?7.0?7.8?3?8?3?8.4?9.8)?7.7； 1018方案3最后得分：8；
方案4最后得分：8或8.4．
方案2最后得分：(7.0?7.8?3?8?3?8.4)?8；
（2）因为方案1中的平均数受极端数值的影响，不能反映这组数据的“平均水平”， 所以方案1不适合作为最后得分的方案．
因为方案4中的众数有两个，众数失去了实际意义，所以方案4不适合作为最后得分的方案．
例5．（厦门）某中学要召开运动会，决定从初三年级全部的150名的女生中选30人，组成一个彩旗方队（要求参加方队的同学的身高尽可能接近）．现在抽测了10名女生的身高，结果如下（单位：厘米）：
166 154 151 167 162 158 158 160 162 162 （1）依据样本数据估计，初三年级全体女生的平均身高约是多少厘米？ （2）这10名女生的身高的中位数、众数各是多少？
（3）请你依据样本数据，设计一个挑选参加方队的女生的方案．（请简要说明）
解：（1）因为（166＋154＋151＋167＋162＋158＋158＋160＋162＋162）÷10＝160（厘米），所以九年级全体女生的平均身高约是160厘米．
（2）这10名女生的身高的中位数是161厘米，众数是162厘米．
（3）先将九年级中身高为162厘米的所有女生挑选出来作为参加旗队的女生，如此进行下去，直至挑选到30人为止．
（三）测量设计题
例6．（07潜江等）经过江汉平原的沪蓉(上海—成都)高速铁路即将动工.工程需要测量汉江某一段的宽度.如图①，一测量员在江岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得?ACB?68．
（1）求所测之处江的宽度（sin68?0.93,cos68?0.37,tan68?2.48.）； （2）除（1）的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案，并在图②中画出图形． 解：
B ????A 图① C 图② ?（1）在Rt?BAC中，?ACB?68，
∴AB?AC?tan68?100?2.48?248（米）
?
