又，
所以
a·(b-c). （因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2）
又因为AB=AC，OB=OC，所以OA为BC的中垂线。 所以a·(b-c)=0. 所以OE4．向量的坐标运算。
例7 已知四边形ABCD是正方形，BE//AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：AF=AE。
【证明】 如图所示，以CD所在的直线为x轴，以C为原点建立直角坐标系，设正方形边长为1，则A，B坐标分别为（-1，1）和（0，1），设E点的坐标为（x, y），则y-1),
又因为
，因为
，所以-x-(y-1)=0.
=(x,
CD。
，所以x2+y2=2.
由①，②解得
所以
设所以所以
，则
，即F
=4+
。由和，
共线得
，所以AF=AE。
三、基础训练题
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1．以下命题中正确的是__________. ①a=b的充要条件是|a|=|b|，且a//b；②(a·b)·c=(a·c)·b；③若a·b=a·c，则b=c；④若a, b不共线，则xa+yb=ma+nb的充要条件是x=m, y=n；⑤若在b=(-3, 4)上的投影为-4。
2．已知正六边形ABCDEF，在下列表达式中：①③
；④
与
，相等的有__________.
；②
；
，且a, b共线，则A，B，C，D共线；⑥a=(8, 1)
3．已知a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a·b=0，则|x|+|y|=__________.
4．设s, t为非零实数，a, b为单位向量，若|sa+tb|=|ta-sb|，则a和b的夹角为__________. 5．已知a, b不共线，条件.
6．在△ABC中，M是AC中点，N是AB的三等分点，且于D，若
7．已知__________.
8．已知
=b, a·b=|a-b|=2，当△AOB面积最大时，a与b的夹角为__________.
，
，则λ=__________. 不共线，点C分
所成的比为2，
，则，BM与CN交
=a+kb,
=la+b，则“kl-1=0”是“M，N，P共线”的__________
9．把函数y=2x2-4x+5的图象按向量a平移后得到y=2x2的图象，c=(1, -1), 若c·b=4，则b的坐标为__________.
10．将向量a=(2, 1)绕原点按逆时针方向旋转得到向量b，则b的坐标为__________.
与
11．在Rt△BAC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，试问的夹角取何值时
的值最大？并求出这个最大值。
12．在四边形ABCD中，试判断四边形ABCD的形状。
四、高考水平训练题
，如果a·b=b·c=c·d=d·a，
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1．点O是平面上一定点，A，B，C是此平面上不共线的三个点，动点P满足
则点P的轨迹一定通过△ABC的________心。
2．在△ABC中，3．非零向量=__________.
4．若O为△ABC 的内心，且为__________.
5．设O点在△ABC 内部，且为__________.
6．P是△ABC所在平面上一点，若__________心.
7．已知围是__________.
8．已知a=(2, 1), b=(λ, 1)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是__________. 9．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则值为__________.
10．已知集合M={a|a=(1, 2)+ λ(3, 4), λ∈R}，集合N={a|a=(-2, -2)+ λ(4, 5), λ∈R},mj MN=__________.
11．设G为△ABO的重心，过G的直线与边OA和OB分别交于P和Q，已知
，△OAB与△OPQ的面积分别为S和T，
的最小
，则|
|的取值范
，则P是△ABC 的
，则△AOB与△AOC的面积比
，则△ABC 的形状
，且a·b<0，则△ABC的形状是__________. ，若点B关于
所在直线对称的点为B1，则
（1）求y=f(x)的解析式及定义域；（2）求的取值范围。
12．已知两点M（-1，0），N（1，0），有一点P使得成公差小于零的等差数列。
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（1）试问点P的轨迹是什么？（2）若点P坐标为(x0, y0), tan.
五、联赛一试水平训练题
为与的夹角，求
1．在直角坐标系内，O为原点，点A，B坐标分别为（1，0），（0，2），当实数p, q
满足时，若点C，D分别在x轴，y轴上，且，则直线
CD恒过一个定点，这个定点的坐标为___________.
2．p为△ABC内心，角A，B，C所对边长分别为a, b, c. O为平面内任意一点，
则
=___________（用a, b, c, x, y, z表示）.
3．已知平面上三个向量a, b, c均为单位向量，且两两的夹角均为1200，若|ka+b+c|>1(k∈R)，则k的取值范围是___________.
4．平面内四点A，B，C，D满足的取值有___________个.
5．已知A1A2A3A4A5是半径为r的⊙O内接正五边形，P为⊙O上任意一点，则
取值的集合是___________.
6．O为△ABC所在平面内一点，A，B，C为△ABC 的角，若sinA·+sinC·
，则点O为△ABC 的___________心.
(a-b)”的___________条件.
，又(c·b)：(b·a)：(a·c)=1：2：3，则△
+sinB·，则
7．对于非零向量a, b, “|a|=|b|”是“(a+b)8．在△ABC 中，
ABC 三边长之比|a|：|b|：|c|=____________.
9．已知P为△ABC内一点，且
，CP交AB于D，求证：
10．已知△ABC的垂心为H，△HBC，△HCA，△HAB的外心分别为O1，O2，O3，令心。
，求证：（1）2p=b+c-a；（2）H为△O1O2O3的外
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11．设坐标平面上全部向量的集合为V，a=(a1, a2)为V中的一个单位向量，已知从V到
的变换T，由T(x)=-x+2(x·a)a(x∈V)确定，
（1）对于V的任意两个向量x, y, 求证：T(x)·T(y)=x·y； （2）对于V的任意向量x，计算T[T(x)]-x； （3）设u=(1, 0)；六、联赛二试水平训练题
1．已知A，B为两条定直线AX，BY上的定点，P和R为射线AX上两点，Q和S为
，若
，求a.
射线BY上的两点，为定比，M，N，T分别为线段AB，PQ，RS上的点，
为另一定比，试问M，N，T三点的位置关系如何？证明你的结论。
2．已知AC，CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，点M，N分别内分AC，CE，使得AM：AC=CN：CE=r，如果B，M，N三点共线，求r.
3．在矩形ABCD的外接圆的弧AB上取一个不同于顶点A，B的点M，点P，Q，R，S是M分别在直线AD，AB，BC，CD上的射影，求证：直线PQ与RS互相垂直。
4．在△ABC内，设D及E是BC的三等分点，D在B和F之间，F是AC的中点，G是AB的中点，又设H是线段EG和DF的交点，求比值EH：HG。
5．是否存在四个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直？
6．已知点O在凸多边形A1A2?An内，考虑所有的同的自然数，求证：其中至少有n-1个不是锐角。
7．如图，在△ABC中，O为外心，三条高AD，BE，CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N，求证：（1）OB
DF，OC
DE，（2）OH
MN。
AiOAj，这里的i, j为1至n中不
8．平面上两个正三角形△A1B1C1和△A2B2C2，字母排列顺序一致，过平面上一点O作
，求证△ABC为正三角形。
9．在平面上给出和为
的向量a, b, c, d，任何两个不共线，求证：
|a|+|b|+|c|+|d|≥|a+d|+|b+d|+|c+d|.
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