2019年
专题强化练九 数列的求和及综合应用
一、选择题
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S3＝a5.令bn＝(－1)A．－n B．－2n C．n D．2n 解析：设等差数列{an}的公差为d， 由S3＝a5得3a2＝a5，
即3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2， 所以an＝2n－1，所以bn＝(－1)
n－1
n－1
an，则数列{bn}的前2n项和T2n为( )
(2n－1)，
所以T2n＝1－3＋5－7＋…＋(4n－3)－(4n－1)＝－2n. 答案：B
?2＋1?
2．已知Tn为数列?n?的前n项和，若m＞T10＋1 013恒成立，则整数m的最小值为( )
?2?
nA．1 026 B．1 025 C．10 24 D．1 023 2＋11
解析：因为n＝1＋n，
2211?
1－n???2?2?1
所以Tn＝n＋＝n＋1－n，
121－2
11
所以T10＋1 013＝11－10＋1 013＝1 024－10，
22又m＞T10＋1 013恒成立， 所以整数m的最小值为1 024. 答案：C
3．已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝( ) A．9 B．15 C．18 D．30
解析：因为an＋1－an＝2，a1＝－5，所以数列{an}是公差为2的等差数列． 所以an＝－5＋2(n－1)＝2n－7. 7
令an＝2n－7≥0，解得n≥.
2
所以n≤3时，|an|＝－an；n≥4时，|an|＝an. 则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18. 答案：C
4．(2018·衡水中学月考)数列an＝＋y＋n＝0在y轴上的截距为( )
n19
，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)xn（n＋1）10
2019年
A．－10 B．－9 C．10 D．9 解析：由于an＝
111
＝－.
n（n＋1）nn＋1
1??1??11??1
所以Sn＝?1－?＋?－?＋…＋?－?
?2??23??nn＋1?＝1－
1. n＋1
19
＝，所以n＝9. n＋110
因此1－
所以直线方程为10x＋y＋9＝0.
令x＝0，得y＝－9，所以在y轴上的截距为－9. 答案：B
5．(2018·河南商丘第二次模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－an≥2(n∈N)，且Sn为{an}的前n项和，则( )
A．an≥2n＋1 C．an≥2
n－1
*
B．Sn≥n D．Sn≥2
n－1
2
解析：因为a2－a1≥2，a3－a2≥2，…，an－an－1≥2，且a1＝1. 各式相加，得an－a1≥2(n－1)，则an≥2n－1(n≥2)． 则Sn＝a1＋a1＋…＋an≥1＋3＋5＋…＋2n－1＝n. 答案：B 二、填空题
6．(2018·江西名校联考)若{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n＋3n＋2，则{bn}的前2 018项和为________． 解析：因为anbn＝1，且an＝n＋3n＋2， 所以bn＝
111
＝－，
n＋3n＋2n＋1n＋2
2
2
2
2
?11??11??1－1?＝1－1＝1 009.
故b1＋b2＋…＋b2 018＝?－?＋?－?＋…＋??
?23??34??2 0192 020?22 0202 020
1 009
答案： 2 020
7．(2018·衡水中学质检)已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[－1.5]＝－2.在数列{an}中，an＝[lg n]，n∈N，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2 018＝________．
解析：当1≤n≤9时，an＝[lg n]＝0， 当10≤n≤99时，an＝[lg n]＝1， 当100≤n≤999时，an＝[lg n]＝2， 当1 000≤n≤2 018时，an＝[lg n]＝3.
故S2 018＝9×0＋90×1＋900×2＋1 019×3＝4 947. 答案：4 947
*
2019年
8．(2018·河北邯郸第一次模拟)已知数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，bn－an＝2＋1，且Sn＋Tn＝2
n＋1
n＋n－2，则2Tn＝________．
解析：因为Tn－Sn＝b1－a1＋b2－a2＋…＋bn－an＝2＋2＋…＋2＋n＝2又Sn＋Tn＝2
n＋1
2
2
nn＋1
＋n－2.
＋n－2.
n＋2
2
相加，得2Tn＝2答案：2
n＋2
＋n＋n－4＝2
2n＋2
＋n(n＋1)－4.
＋n(n＋1)－4
三、解答题
9．记Sn为数列{an}的前n项和，已知Sn＝2n＋n，n∈N. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝1
2
*
anan＋1
，求数列{bn}的前n项和Tn.
2
解：(1)由Sn＝2n＋n，得 当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋n－[2(n－1)＋(n－1)]＝4n－1. 又a1＝3满足上式， 所以an＝4n－1(n∈N)． (2)bn＝
1?11?1－＝＝??
anan＋1（4n－1）（4n＋3）4?4n－14n＋3?1
*
2
2
1?11?1111111n所以Tn＝[?－?＋(－)＋…＋(－)]＝(－)＝.
4?37?7114n－14n＋3434n＋312n＋910．(2018·日照调研)已知递增的等比数列{an}满足a2＋a3＝12，a1·a4＝27. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(n＋1)an，求{bn}的前n项和Sn.
解：(1)因为数列{an}是等比数列，且a2·a3＝a1·a4＝27，
??a2＋a3＝12，??a2＝3，??a2＝9，??由得或?(舍去) ?a2·a3＝27，??a3＝9，??a3＝3，?
所以q＝3，an＝a2·3(2)bn＝(n＋1)3
n－1
n－2
＝3
n－1
.
，
0
1
2
所以Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2×3＋3×3＋4×3＋…＋(n＋1)×3所以3Sn＝2×3＋3×3＋4×3＋…＋(n＋1)×3，② 由①－②得－2Sn＝2＋3＋3＋3＋…＋31)·3.
（2n＋1）·31故Sn＝－.
44
nn1
2
3
1
2
3
n－1
，①
nn－1
3（1－3）11n－(n＋1)×3＝2＋－(n＋1)×3＝－(2n＋
1－322
nn－1
11．已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N)均在函数f(x)＝3x－2x的图象上． (1)求数列{an}的通项公式．
*2
2019年
(2) 设bn＝范围．
3
anan＋1
，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得2Tn≤λ－2 018对任意n∈N都成立的实数λ的取值
*
解：(1)因为点(n，Sn)均在函数f(x)＝3x－2x的图象上，所以Sn＝3n－2n. 当n＝1时，a1＝S1＝3－2＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2n)－[3(n－1)－2(n－1)]＝6n－5. 又a1＝1也满足an＝6n－5， 所以an＝6n－5(n∈N)． (2)因为bn＝
3
*
2
2
22
anan＋1
＝
1?31?1－＝??，
（6n－5）[6（n＋1）－5]2?6n－56n＋1?
1?1??11?11113n所以Tn＝[?1－?＋?－?＋…＋(－)]＝(1－)＝，
2?7??713?6n－56n＋126n＋16n＋16n1
所以2Tn＝＝1－＜1.
6n＋16n＋1又2Tn≤λ－2 018对任意n∈N都成立， 所以1≤λ－2 018，即λ≥2 019. 故实数λ的取值范围是[2 019，＋∞)．
*
