怎样教“用函数的观点看方程（组）与不等式”？
湖南省长沙市岳麓区教研室 向利平 湖南师大附中博才实验中学 曾 辉
人教版教材初中教材用三个课时的篇幅安排了“用函数的观点看方程（组）与不等式”的内容。该教学内容的安排，有利于使学生进一步体会函数的价值，整体上理解方程、不等式与函数的联系，构建统一的知识体系。但由于一些老师都没能很好地领会教材安排这一教学内容的意图，对本教学内容的教育价值的理解不够，在该内容的教学时，把目标仅定位在“估计方程、不等式解”的结果上，对学习“用函数的观点看方程（组）与不等式”必要性渗透不够，对估计解的过程及过程中隐含的数学思想和方法挖掘、提炼不够。实际操作中往往是蜻蜒点水，草草收场，给习题课让路。本文从“教学内容分析”、“教学难点分析”两个方面试图阐述该教学内容的地位和作用，通过具体的教学案例试图说明该教学内容教什么和怎么教，并以求引发更深层次的思考：在数学教学中，除了知识和技能以外，我们还给学生教些什么？
一、教学内容分析
看似简单的教学内容实际上蕴含有丰富的教育价值。
“用函数的观点看方程（组）与不等式”这一教学内容从函数的角度对前面学过的一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组重新进行了分析，这种认识不是原来水平上的回顾与复习，而是站在更高的起点上的动态分析，用函数把三个不同的数学模型有机地结合和统一了起来。揭示三个不同数学模型间的内在联系，有利于使学生从整体上把握数学知识间的关系，体会数学知识、研究方法的发展过程，进而提高学生的数学素养。
用函数的观点看方程（组）与不等式，实质上就是借助函数的图象（几何图形）研究方程（组）的解和不等式的解集，这一教学内容是渗透数形结合思想、使学生体会数学的和谐美等方面很好的教学素材。
“用函数的观点看方程（组）与不等式”是后续学习 “用二次函数的观点看一元二次方程”，高中阶段“函数的零点”、“二分法求方程的近似解”、“一元二次不等式的解法”、“线性规划”、“曲线与方程”等内容的基础。本教学内容中所隐含的构造函数的方法，是解决数学问题的一种重要方法。例如：
1．已知(x?3)?(y?3)?6，求分析：如果令
22y的极值。 xy
?k，则可构造函数y?kx，问题转化为求当直线y?kx与圆x
(x?3)2?(y?3)2?6有交点时，直线的斜率k的极值。
2．已知关于x的方程4?x2?2x?m有解，求实数m的取值范围。
分析：构造函数y?4?x2和y?2x?m，问题转化：若半圆x?y?4(y?0)与直线y?2x?m有交点，求直线在y轴上的截距m的取值范围。 二、教学难点分析
很多老师都认为“用函数的观点看方程（组）与不等式”不太好上，归其原因主要有以下两个方面：
一是用一次函数的观点看一次方程（组）与一元一次不等式本是一个统一的整体，但由于教学课堂容量的限制，实际教材的编写中将这一内容拆分成“一次函数与一元一次方程”、“一次函数与
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一元一次不等式”、“一次函数与二元一次方程（组）”三个课时，教学时不利于学生从整体上认识三个对象间的联系。
二是按教材的编写思路组织教学，难以使学生体会学习“借助函数的图象求方程的解”的必要性，“借助函数y?2x?20的图象求方程2x?20?0的解、借助函数y?2x?4的图象解不等式
5x?6?3x?10”等教学素材客观上使学生产生舍近求远、舍简求繁的感觉，容易使学生产生所
学内容没有意义的认识，难以激发学生学习的内驱力。
三是本内容的教学目标属于观点和思想方法层面上的过程性目标，用函数的图象估计方程的解的问题一般不会在中考试题中出现。受应试观念的影响，很多老师对该内容的教学没有引起重视，教学时往往一带而过，由此给学生带来诸多困惑：所学的知识到底用什么？在这些内容的学习中我们到底要掌握哪些东西？二元一次方程组我们都会解了，为什么还要有画图找交点的方法呢？这些质疑解决得好，学生对数学知识间的转化、联系与统一会有更深刻的认识，否则会给学生的数学学习带来诸多消极影响。 三、教学案例
课题：用函数的观点看方程（组）
教学目标
1．通过一次函数解析式与二元一次方程一般形式的对比，使学生体会一次函数与二元一次方程的联系：可以互化，但研究的对象不同，是两种不同的数学模型。
2．通过动手操作，使学生体会二元一次方程的解为坐标的点与一次函数图象上的点的关系。 3．通过教学使学生体会学习用函数的观点看方程（组）的必要性，在此基础上掌握借助函数图象研究方程（组）的解的方法，体会数形结合的价值。
4．通过具体的实例，使学生初步体会构造函数研究方程解的方法。 教学重、难点
教学重点：借助一次函数的图象研讨一元一次方程和二元一次方程组的解。 教学难点：体会学习用函数的观点看方程（组）的必要性。 教学过程 程序 学 （一）议一议 从形式上看一次函数y=2-x和二元一次方程x?y?2?0有什么联系？ （二）想一想 完成下列各题并思考后面的问题： 1．写出满足方程x?y?2?0的解： ； 2．在平面直角坐标系中，描出你在“1”中写出的解为坐标的点； 3．在同一坐标系画出一次函数y=2-x的图象。 二元一次方程x?y?2?0的解与一次函数y=2-x的图象有什么关系？ 导 通过学生想、议之后，教师适时归纳： 1．从形式上看，一次函数解析式和二元一次方程可以互化，将x?y?2?0化成用含有x的代数式表示y的形式之后即可以看成y是x的一次函数。 2．以方程x?y?2?0的解为坐标的点在一次函数y=2-x的图象上；函数图象上的任意一点的坐标都是方程的解。因此，我们可以借助函数的图象研究方程的解。 设计意图 激学导思 使学生理解一次函数与二元一次方程的联系，初步体会“用函数的观点看二元一次方程”的合理性。 2
程序 学 （三）做一做 1．直线y=2-x与x轴的交点坐标是___________，方程2-x =0的解是___________。 2．如图，一次函数y?ax?1的图象与两坐标轴的交点分别为（-2，0）、（0，1），则： （1）关于x的一元一次方程ax?1?0的解是_____________； （2）关于x的一元一次方程ax?1?1的解是_____________。 导 通过对学生解决问题的过程和结果的总结，引导学生得出：可以借助方程研究一次函数图象与x、 y轴的交点坐标，也可以利用函数的图象直观地估计方程的解。 对于“2”，可能有一部分学生先用待定系数法求得a的值，再解一元一次方程。通过两种方法的对比，使学生体会学会用函数的图象估计方程解的必要性。 设计意图 探究释疑 3．如图，一次函数y?ax?b的图象与两归纳： 坐标轴的交点分别为A（0，2）、B（1，0），则： 我们可以通过构造一（1）关于x的一元一次方程次函数，借助函数的图象直y ax?b?0的解为 ； 观地得出方程的解。 2 A （2）关于x的一元一次方程提炼： ax?2?b的解为 ； 借助一次函数估计一B （3）关于x的一元一次方程1 x 元一次方程的解的一般方0 ax?b?1的解为 。 法。 （四）议一议 怎样借助一次函数的图象估计一元一次方程的解？ 通过让学生经历由具体到抽象、由简单到复杂的问题的解决过程，使学生体会学习“借助函数的图象估计方程解”的必要性，掌握其基本的方法。 （五）做一做 y 前面已经作出了一次函数y=2-x的图象（如图），请在该坐标系内再作出一次函数y=xo x 的图象，观察两个函数图象并解答下面的问题： （1）两个一次函数图象的位置关系怎样？交点坐标是多少？ (2)当两个函数的函数值相等时，自变量x的值等于__________； 归纳： 以二元一次方程组的解为坐标的点，是两个相应的一次函数图象的公共点（交点）；两个一次函数图象的交点坐标是相应二元一次方程组的解。 提炼： 构造一次函数，借助一次函数图象估计二元一次?y?2?x（3）方程组?的解是________ ； 方程组的解的方法。 y?x??x?y?2(4) 方程组?的解是_______ 。 x?y?0?使学生初步体会可以用函数的观点看二元一次方程组。初步了解可以构造一次函数，借助一次函数的图象估计方程的解。 （六）议一议 怎样借助一次函数的数象估计二元一次方程的解？ 3
程序 学 （七）做一做 如图，一次函数y?ax?b与y?mx?n的图象相交于点P（-1，2）则 （1）关于x的一元一次方程ax?b?mx?n的解为 ； （2）关于x、y的二元一次方程组?导 设计意图 使学生掌握借助函数图象估计方程和方程组的解的方法，进一步领会“函数”与“方程（组）”间的联系，进一步体会借助函数的图象研究方程（组）的解的价值。 y P 2 -1 0 x 适时指导、讲评。 归纳提升 ?y?ax?b,的解为 ； ?y?mx?n（3）关于x、y的二元一次方程组?ax?y?b?0,的解为 ． ??mx?y?n?0（八）议一议 已知方程5x?1?2x?5． （1）用一个一次函数的图象估计已知方程的解，这个一次函数可以是哪些？ （2）能否用两个一次函数图象的交点估计已知方程的解？这两个一次函数分别可以是哪些？ 延伸拓展 适时启发、评价。 使学生进一步领会，可以通过构造函数研究与方程解有关的问题，进一步体会根据具体问题构造函数的方法，提升学生分析问题、解决问题的能力，为后续学习打下基础。 深化对学习内容的理解和认识。 巩固学习内容，反馈教学效果。 回顾反思 布置作业 通过这节课的学习，你有哪些收获？ 小结本节课学习的内容，提炼本节课应掌握的基本方法。 作业： 教材P129：第2、5、6题 该课曾在我区数学教研活动中作为研究课开出，并成功的诠释了该教学内容教什么和怎么教的问题。老师们一致认为，该课的成功之处主要表面在以下几个方面：
1．较好地突破了“体会学习用函数的观点看方程（组）的必要性”的教学难点。在“探究释疑”之“（三）做一做”环节，“2”、“3”两个问题的解决办法都有两种，一是先用待定系数法求出字母系数的值，再求解方程，二是直接利用函数的图象观察得出方程的解。通过对两种方法的对比，可以使学生较好地体会到借助函数的图象解决某一类问题的便利和优越性，从而体会学习用函的观点看方程（组）的必要性。在“归纳提升”环节，通过问题的巧妙设计，使学生只能借助函数的图象解决问题，从而进一步体会学会用函数的观点看方程（组）的价值。
2．逐层深入地引导学生带着函数的观点走进了方程。在“激学导思”的环节，通过对“从形
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式上看一次函数y=2-x和二元一次方程x?y?2?0有什么联系？”、“二元一次方程x?y?2?0的解与一次函数y=2-x的图象有什么关系？”两个问题的探讨，使学生从两个角度初步认识二者间的联系：从式的角度看，一次函数解析式和二元一次方程可以互化；从形的角度看，以方程x?y?2?0的解为坐标的点在一次函数y=2-x的图象上，函数图象上的任意一点的坐标都是方程的解。在“探究释疑”环节，通过让学生亲身经历借助一次函数图象估计一元一次方程和二元一次方程组的解的过程，进一步体会二者间的联系。在“归纳提升”环节，通过问题解决，使学生学会用函数的观点看方程和方程组，形成较为深刻地的认识。
3．“延伸拓展”环节中两个开放性问题的设计可以称得上是本节课的点晴之笔。两个问题的设计，不仅是为了对学习内容的概括和进一步理解，更是着眼于解决问题的思想和方法层面上的能力提升。通过利用构造函数的方法研究方程解的尝试，提升学生分析问题、解决问题的能力，为高中阶段函数的综合运用埋下伏笔，作好铺垫。
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