考点3 “磁聚焦”与“磁发散”
1．带电粒子的汇聚
如下左图所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等即R＝r，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出．
平行四边形OAO′B为菱形，可得BO′为轨迹圆的半径，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点．
2．带电粒子的发散
如上右图所示，有界圆形磁场磁感应强度为B，圆心O，从P点有大量质量为m，电量为q正离子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正离子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有的运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，即出射速度方向相同．
【例题】如图所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上．在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场．在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量q(q>0)和初速度v的带电微粒．发射时，这束带电微粒分布在0 (1)从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小和方向． (2)请指出这束带电微粒与x轴相交的区域，并说明理由． (3)若这束带电微粒初速度变为2v，那么它们与x轴相交的区域又在哪里？并说明理由． 【解析】 (1)带电粒子平行于x轴从C点进入磁场，说明带电微粒所受重力和电场力 mg 平衡．设电场强度大小为E，由mg＝qE，可得E＝，方向沿y轴正方向．带电微粒 q mv2 进入磁场后，将做圆周运动．且r＝R，如图所示，设磁感应强度大小为B.由qvB＝， R mv 得B＝，方向垂直于纸面向外． qR (2)这束带电微粒都通过坐标原点． 方法一：从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动，其圆心位于其正下方的Q点，如图所示，这束带电微粒进入磁场后的圆心轨迹是如图的虚线半圆，此圆的圆心是坐标原点． 方法二：从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动．如图所示，P点与O′点的连线与y轴的夹角为θ，其圆心Q的坐标为(－Rsinθ，Rcosθ)，圆周运动轨迹方程为 (x＋Rsinθ)2＋(y－Rcosθ)2＝R2，得x＝0，y＝0； 或x＝－Rsinθ，y＝R(1＋cosθ)． (3)这束带电微粒与x轴相交的区域是x>0. 带电微粒在磁场中经过一段半径为r′的圆弧运动后，将在y轴的右方(x>0)的区域离开磁场并做匀速直线运动，如图所示．靠近M点发射出来的带电微粒在穿出磁场后会射向x轴正方向的无穷远处，靠近N点发射出来的带电微粒会在靠近原点之处穿出磁场．所以，这束带电微粒与x轴相交的区域范围是x>0. mv01. 如图所示，在半径为R＝的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B， Bq圆形区域右侧有一竖直感光板，圆弧顶点P有一速度为v0的带正电粒子平行于纸面进入磁场，已知粒子的质量为m，电荷量为q，粒子重力不计． (1) 若粒子对准圆心射入，求它在磁场中运动的时间； (2) 若粒子对准圆心射入，且速率为3v0，求它打到感光板上时速度的垂直分量； (3) 若粒子以速度v0从P点以任意角射入，试证明它离开磁场后均垂直打在感光板上． πm3 【答案】 (1) (2)v0 2Bq2 2. 如图所示，在坐标系xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为O1（a，0），圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场。在直线y=a的上方和直线x=2a的左侧区域内，有一沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E。一质量为m、电荷量为+q（q>0）的粒子以速度v从O点垂直于磁场方向且速度方向沿x轴正方向射入第一象限，粒子恰好从O1点正上方的A点射出磁场，不计粒子重力。 (1) 求磁感应强度B的大小； (2) 求粒子从O点进入磁场到最终离开磁场所通过的路程。 (3) 若粒子以速度v从O点垂直于磁场方向且与x轴正方向的夹角θ=300射入第一象限， 求粒子从射入磁场到最终离开磁场的时间t。 【答案】（2） 3. 在如图的xOy坐标系中．A（﹣L，0）、C是x轴上的两点，P点的坐标为（0，L）．在第 1 二象限内以D（﹣L，L）为圆心、L为半径的圆形区域内，分布着方向垂直xOy平面向外、 4磁感应强度大小为B的匀强磁场；在第一象限三角形OPC之外的区域，分布着沿y轴负方向的匀强电场．现有大量质量为m、电荷量为+q的相同粒子，从A点平行xOy平面以相同速率、沿不同方向射向磁场区域，其中沿AD方向射入的粒子恰好从P点进入电场，经电场后恰好通过C点．已知a=30°，不考虑粒子间的相互作用及其重力，求： (1) 电场强度的大小； (2) x正半轴上有粒子穿越的区间． 【答案】（1） （2） 4. 如图所示，在xOy平面的第Ⅱ象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度为E。第Ⅰ和第Ⅳ象限内有一个半径为R的圆，其圆心坐标为（R，0），圆内存在垂直于xOy平面向里的匀强磁场，一带正电的粒子（重力不计）以速度v0从第Ⅱ象限的P点平行于x轴 进入电场后，恰好从坐标原点O进入磁场，速度方向与x轴成60°角，最后从Q点平行于y轴射出磁场。P点所在处的横坐标x＝-2R。求： （1） 带电粒子的比荷； （2） 磁场的磁感应强度大小； （3） 粒子从P点进入电场到从Q点射出磁场的总时间。 5. 如图所示，在直角坐标系xOy平面的第Ⅱ象限内有半径为R的圆O1分别与x轴、y轴相切于P（﹣R，0）、Q（0，R）两点，圆O1内存在垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B．与y轴负方向平行的匀强电场左边界与y轴重合，右边界交x轴于M点，一带正电的粒子A（重力不计）电荷量为q、质量为m，以某一速率垂直于x轴从P点射入磁场，经磁场偏转恰好从Q点进入电场，最后从M点以与x轴正向夹角为45°的方向射出电场．求： （1） OM之间的距离； （2） 该匀强电场的电场强度E； （3） 若另有一个与A的质量和电荷量相同、速率也相同的粒子A′，从P点沿与x轴负方向成30°角的方向射入磁场，则粒子A′再次回到x轴上某点时，该点的坐标值为多少？ 【答案】（1）2R （2） 【答案】（1） （2）（3） （3）（ ，0）
