函数导数不等式
一、派生结论
1．有关函数单调性和奇偶性的重要结论
(1)f(x)与f(x)＋c(c为常数)具有相同的单调性．
(2)当k＞0时，函数f(x)与kf(x)的单调性相同；当k＜0时，函数f(x)与kf(x)的
单调性相反．
(3)当f(x)，g(x)同为增(减)函数时，f(x)＋g(x)则为增(减)函数．
(4)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反
的单调性．
(5)f(x)为奇函数?f(x)的图像关于原点对称；f(x)为偶函数?f(x)的图像关于y轴
对称．
(6)偶函数的和、差、积、商是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数，奇函数与偶函数的积、商是奇函数． (7)函数f(x)与kf(x)，
1
f（x）(f(x)≠0)的奇偶性相同(其中k为非零常数)．
(8)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图像必过原点，即有f(0)＝0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数：f(x)＝0.
(9)f(x)＋f(－x)＝0?f(x)为奇函数；f(x)－f(－x)＝0?f(x)为偶函数． 2．判断函数周期的几个重要结论
(1)若满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)是周期函数，T＝2a. (2)若满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期函数，T＝2a. (3)若满足f(x＋a)＝(4)若满足f(x＋a)＝
1
fx1－f，则f(x)是周期函数，T＝2a. ，则f(x)是周期函数，T＝2a.
x(5)若函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称，且关于直线x＝b对称，则f(x)是周期函数，T＝2|b－a|(b≠a)．
3．函数图像对称变换的相关结论
1
(1)y＝f(x)的图像关于y轴对称的图像是函数y＝f(－x)的图像． (2)y＝f(x)的图像关于x轴对称的图像是函数y＝－f(x)的图像． (3)y＝f(x)的图像关于原点对称的图像是函数y＝－f(－x)的图像． (4)y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称的图像是函数y＝f－1(x)的图像． (5)y＝f(x)的图像关于直线x＝m对称的图像是函数y＝f(2m－x)的图像． (6)y＝f(x)的图像关于直线y＝n对称的图像是函数y＝2n－f(x)的图像． (7)y＝f(x)的图像关于点(a，b)对称的图像是函数y＝2b－f(2a－x)的图像． （8）y?f(x)关于直线x?a对称?f(x)?f(2a?x)?f(a?x)?f(a?x) （9）y?f(x)关于点(a，0)对称?f(x)??f(2a?x)?f(a?x)??f(a?x) 4．函数图像平移变换的相关结论
(1)把y＝f(x)的图像沿x轴左右平移|c|个单位(c＞0时向左移，c＜0时向右移)得到
函数y＝f(x＋c)的图像(c为常数)．
(2)把y＝f(x)的图像沿y轴上下平移|b|个单位(b＞0时向上移，b＜0时向下移)得到
函数y＝f(x)＋b的图像(b为常数)．
5．函数图像伸缩变换的相关结论
(1)把y＝f(x)的图像上各点的纵坐标伸长(a＞1)或缩短(0＜a＜1)到原来的a倍，而横坐标不变，得到函数y＝af(x)(a＞0)的图像．
1(2)把y＝f(x)的图像上各点的横坐标伸长(0＜b＜1)或缩短(b＞1)到原来的倍，而纵
b坐标不变，得到函数y＝f(bx)(b＞0)的图像．
6.方程的根与函数的零点
(1)方程的根与函数零点的关系：
由函数零点的定义，可知函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标．所以，方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图像与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
(2)函数零点的存在性：
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且f(a)2f(b)＜0，那么函数f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，
2
这个c也就是方程f(x)＝0的实数根． 7、函数的单调性：
（1）设函数y?f(x)在(a，b)内可导，如果f'(x)＞0，则y?f(x)在(a，b)内为增函数；
如果f'(x)＜0，则y?f(x)在(a，b)内为减函数.
（2）如果y?f(x)在(a，b)内为增函数，则f'(x)?0对x?(a，b)恒成立；
如果y?f(x)在(a，b)内为减函数，则f'(x)?0对x?(a，b)恒成立；
8．给定区间上，含参数的不等式恒成立或有解的条件依据
(1)在给定区间(－∞，＋∞)的子区间L(形如[α，β]，(－∞，β]，[α，＋∞)等)上，含参数的不等式f(x)≥t(t为参数)恒成立的充要条件是f(x)min≥t(x∈L)． (2)在给定区间(－∞，＋∞)的子区间L上，含参数的不等式f(x)≤t(t为参数)恒成立的充要条件是f(x)max≤t(x∈L)．
(3)在给定区间(－∞，＋∞)的子区间L上，含参数的不等式f(x)≥t(t为参数)有解
的充要条件是f(x)max≥t(x∈L)．
(4)在给定区间(－∞，＋∞)的子区间L上，含参数的不等式f(x)≤t(t为参数)有解
的充要条件是f(x)m in≤t(x∈L)．
9．重要不等式：①a2?b2?2ab；②均值不等式：若a、b?0，则
等式的应用：一正、二定、三相等）
10．不等式a?b?a?b?a?b的应用及取等号的条件；
a?b?ab；（均值不2?a?0
11．ax?bx?c?0对x?R恒成立的充要条件：①a?b?0且c?0； ②?
??0?
2注意：要考虑二次项系数为0的情形。
12．常用常考的不等式
(1)|a|≥0，a2≥0(a∈R)．
(2)a，b∈R?a2＋b2≥2 ab(当且仅当a＝b时取等号)． (3)a>0，b>0?
a＋b2
≥ab(当且仅当a＝b时取等号)．
(4)a3＋b3＋c3≥3abc(a＞0，b＞0，c＞0)，a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，当且仅当a＝b
3
＝c时取等号．
(5)|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|. 2aba＋b(6)≤ab≤≤ a＋b2
13、
a2＋b2
2
(当且仅当a＝b时取等号，且a>0，b>0)．
几个经典不等式?1?ex?x?1 ?2?ex?1?x
?3?lnx?x?1?x?0?, 14、几种常见的放缩
二、易错题辨析
1、函数性质的定义掌握不熟练
k?2x(a为常数)在定义域上为奇函数，则k的值为（ ） 例1、若函数f(x)?x1?k?2A． 1 B. ?1 C. ?1 D. 0
【错解分析】此题容易错选为A，错误原因是直接利用了f(0)?0。
k?2xk?2?x?【解题指导】利用定义：f(?x)?f(x)?0，f(x)?f(?x)?
1?k?2x1?k?2?x仔细化简到底。 答案：C
2、函数的性质考虑不全面
4
