之后得到的数列，故由刚才所证，{an}收敛，矛盾．所以当{an}发散时，{bn}也发散． 在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下： 定义2 若n??，则称{an}为无穷小数列． 由无穷小数列的定义，不难证明如下命题：
定理2.1 数列{an}收敛于a的充要条件是：{an?a}为无穷小数列． Ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解数列极限概念，利用定义证明数列是否收敛、是否收敛于指定的常数.要求学生课堂上给出n??liman?0liman?a和n??liman不存在的“?—N”定义.
Ⅴ 课外作业: P２７ 2、3、4、6、7、8.
§２ 收敛数列的性质
教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法。 教学要求：（１）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；
（２）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求
某些收敛数列的极限。
教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用。 教学难点：数列极限的计算。 学时安排: 4学时
教学方法：讲练结合。 教学程序：
? 引 言
上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证n??的方法，这是极限较基本的内容，要求掌握。为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题。还需要对数列的性质作进一步讨论。
liman?a一、收敛数列的性质
性质１（极限唯一性） 若数列?性质２（有界性）若数列?an?收敛，则它只有一个极限。
nan?收敛，则?an?为有界数列。
(?1)?注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件。例如数列?有界，但它
不收敛。
性质３（保号性） 若n??liman?a?0（或a?0），则对任何a??(0,a)（或a??(a,0)），
存在正数Ｎ，使得当n?N时有an?a?（或an?a?）。 性质４（保不等式性）设数列?an?与?bn?均收敛，若存在正数N0，使得当n?N0时有
an?limbnan?bn，则limn??n??。
liman?limbnn??思考：如果把条件“an?bn”换成“an?bn”，那么能否把结论换成n??？
保不等式性的一个应用：
liman?aliman?aa?0(n?1,2,3,?)n??n例1 设，证明：若，则n??. 思考：极限运算与一般函数运算可交换次序吗？ 性质５（迫敛性） 设收敛数列?can?、?bn?都以a为极限，
数列?n?满足：存在正数N0，
limcn?ac??n?Na?c?bn0nnn当时有，则数列收敛，且n??.
注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的
工具。
下面是其应用一例：
?n?的极限。
例2 求数列
n性质６（极限的四则运算法则） 若
?an?、
?bn?为收敛数列，则
?an?bn?,?an?bn?,?an?bn?也都收敛，且有
lim(an?bn)?a?b?liman?limbnn??n??n??;
lim(an?bn)?a?b?liman?limbnn??n??n??.
?an???limbn?0bb?0若再做假设n及n??，则数列?n?也收敛，且有
ananalimn??lim??n??bblimbnnn??.
n??n??特别地，若bn?c，则n??，n??. 在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则。下举几例；
lim(an?c)?liman?climcan?climanamnm?am?1nm?1???a1n?a0limk?1n??bnk?bn???b1n?b0，其中m?k,am?0,bk?0. kk?1例3 求
alimnn??a?1n例4 求，其中a??1.
例5 求n??limn(n?1?n).
?111?lim?2????22?n??n(n?1)(2n)??. 例6 求
二 数列的子列
１． 引言
极限是个有效的分析工具。但当数列?an?的极限不存在时，这个工具随之失效。
这能说明什么呢？难道?n?没有一点规律吗？当然不是！ 出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究。那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”。 ２． 子列的定义
a定义１ 设
?an?为数列，
?nk?为正整数集N?的无限子集，且
n1?n2?n3???kn??，则数列
an1,an2,?,ank,?
称为数列?an?的一个子列，简记为?ank?.
an?的子列?ank?的各项都来自?an?且保持这些项在?an?中的的an?中取出无限多项，按照其在?an?中的顺序排成一个数列，就
注1 由定义可见，?先后次序。简单地讲，从?是?an?的一个子列（或子列就是从?an?中顺次取出无穷多项组成的数列）
。
注2 子列
?a?中的n表示ankknk是?kan?中的第nk项，k表示 ank是ank中的第k项，
k???a?中的第k项就是?a?中的第n项，故总有n?a???a?. 即
即
nkna?an，?k. 特别地，若nk?k，则nknkn注3 数列?an?本身以及?an?去掉有限项以后得到的子列，称为?an?的平凡子列；不
是平凡子列的子列，称为?an?的非平凡子列。
an?与它的任一平凡子列
如?2k??2k?1?都是?n?的非平凡子列。由上节例知：数列?同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限。
a,aa那么数列?an?的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果：
an?收敛??an?的任何非平凡子列都收敛。
定理 数列?由此定理可见，若数列?an?的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列必收敛于同一
an?个极限。于是，若数列?n?有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列?一定发散。这是判断数列发散的一个很方便的方法。
a§3 数列极限存在的条件
教学目的与要求
掌握数列极限存在的单调有界定理、柯西(Cauchy)收敛准则，并会利用它们求极限、证明相关命题
教学重点: 单调有界定理、柯西(Cauchy)收敛准则.
教学难点: 单调有界定理、柯西(Cauchy)收敛准则的证明及应用. 学时安排: 4学时
教学方法：讲练结合。 教学程序：
极限理论的两个基本问题: 极限的存在性问题, 极限的计算问题．本节将重点讨论极限的存在性问题．
为了确定某个数列是否存在极限，当然不可能将每个实数依定义一一验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断．
首先讨论单调数列，其定义与单调函数相仿．若数列?an?的各项满足关系式
an?an?1?an?an?1?，
?1?????an则称为递增（递减）数列．递增数列和递减数列统称为单调数列．如?n?为递减数列，
n?????1?n?????2n?则不是单调数列. ?n?1?为n递增数列，而??? 定理2．9(单调有界定理) 在实数系中，有界的单调数列必有极限．
证 不妨设?an?为有上界的递增数列．由确界原理，数列?an?有上确界，记
?an?．下面证明a就是?an?的极限．事实上，任给??0，按上确界的定义，存在a?sup数列?an?中某一项aN，使得a???an．又由?an?的递增性，当n?N时有
a???aN?an．
另一方面，由于a是?an?的一个上界，故对一切an都有an?a?a??．所以当n?N时
有
a???an?a??，
liman?a即n??．
同理可证有下界的递增数列必有极限，且其极限即为它的下确界． 例1 设
an?1?其中实数a?2．证明数列?an?收敛．
111????,n?1,2,?,aaa23n
证 显然?an?是递增的，下证?an?有上界．事实上，
111111?????1??????n?1?n 1?22?32232n21??1??11??1?1??1?????????????2??23??n?1n? 1?2??2n ，?1,2,?.
于是由单调有界定理，?an?收敛．
an?1?例2 证明数列
2,2?2,2?2???2,??????????n个根号收敛，并求其极限． 证 记an?
2?2???2，易见数列?an?是递增的．现用数学归纳法
来证明?an?有上界． 显然a1?2?2．假设an?2，则有an?1?2?an?2?2?2，从而对一切n有
an?2，即?an?有上界．
由单调有界定理，数列?an?有极限，记为a．由于
an?1?2?an，
2对上式两边取极限得a?2?a，即有
2?a?1??a?2??0，解得a??1或a?2．
