︵
21．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是BDC的中点，AE⊥AC于A，与⊙O及︵︵
CB的延长线交于点F，E，且BF＝AD.
(1)求证：△ADC∽△EBA；
(2)如果AB＝8，CD＝5，求tan∠CAD的值．
七、(本题满分12分)
k
22．如图，直线y＝ax＋1与x轴、y轴分别相交于A，B两点，与双曲线y＝(x＞0)相
x交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC＝2，点A的坐标为(－2，0)．
(1)求双曲线的解析式；
(2)若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q，C，H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标．
八、(本题满分14分)
23．(1)如图①，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，请填空：
AO＝DC
________(直接写出答案)；
(2)如图②，将(1)中的△BOC绕点B逆时针旋转得到△BO1C1，连接AO1，DC1，请你猜想线段AO1与DC1之间的数量关系，并证明；
(3)如图③，矩形ABCD和Rt△BEF有公共顶点B，且∠BEF＝90°，∠EBF＝∠ABD＝30°，则
AE
的值是否为定值？若是定值，请求出该值；若不是定值，请简述理由． DF
参考答案与解析
1．B 2.D 3.C 4.A 5.C 6.C 7.A 8.B
9．C 解析：由题意得∠B＝∠C＝45°，∠EAF＝45°.∵∠AFE＝∠C＋∠CAF＝45°＋ABCE∠CAF，∠CAE＝45°＋∠CAF，∴∠AFB＝∠CAE，∴△ACE∽△FBA，∴＝.又∵△ABC
BFAC是等腰直角三角形，且BC＝2，∴AB＝AC＝2.∵BF＝x，CE＝y，∴
2y
＝，∴xy＝2(1x2
＜x＜2)．故选C.
10．D 解析：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，则易得ADODAO3a
△AOD∽△CBE，∴＝＝＝3.设点A的横坐标为3a，则其纵坐标为，即OD＝3a，
CEBEBC23aODADa
AD＝，则BE＝＝a，CE＝＝.∵直线BC是由直线AO向上平移4个单位长度得到
2332aak
a，4＋?.又∵点A，B都在反比例函数y＝的，∴CO＝4，∴EO＝4＋，即点B的坐标为?2??2xa3a9
4＋?，解得a＝1或a＝0(舍去)，∴k＝.故选D. 的图象上，∴k＝3a·＝a??2?22
11
11．75° 12.y＞1或－≤y＜0 13.
24
BE1BE1
14．①②④⑤ 解析：∵CE＝2BE，∴＝，∴＝.∵四边形ABCD是正方形，∴AB
CE2BC3＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∴△BFE∽△DFA，∴
BFEFBEBE1
＝＝＝＝.∵O是BD的中点，DFAFDABC3
1
G是DE的中点，∴OB＝OD，OG＝BE，OG∥BC，∴BF＝OF，OG⊥CD，①正确，②正
2111
确；OG＝BE＝BC＝AB，即AB＝6OG，③错误；连接OA，∴OA＝OB＝2OF，OA⊥BD，
266∴由勾股定理得AF＝5OF，∴sin∠AFD＝
AO2OF251
＝＝，④正确；∵OG＝BE，AF525OF
S△DOG1EF1
△DOG∽△DBE，∴＝.设S△ODG＝a，则S△ABE＝S△BED＝4a.∵＝，∴S△BEF＝a，S△AFB
AF3S△BDE4S△ODG1
＝3a，∴＝，⑤正确．故正确的结论是①②④⑤.
S△ABF3
23＋221323332
1－?＝＋－＋＝.(8分) 15．解：原式＝－?12?2?44244
3－2×
2
16??8?＝16．解：这是上下两个圆柱的组合图形．(3分)V＝16×π×?＋4×π×?2??2?1088π(mm3)．(7分)
答：该物体的体积是1088πmm3.(8分)
17．解：(1)△AEF如图所示，(3分)E(3，3)，F(3，－1)．(5分)
(2)△A1E1F1如图所示(注：若同向位似画出△A1E1F1同样得分)．(8分)
2
2
OB1
18．解：(1)∵点A的坐标为(2，0)，∴OA＝2.∵tan∠OAB＝＝，∴OB＝1，∴点B
OA2
???k＝－2，?b＝1，
的坐标为(0，1)．(2分)设直线l的函数解析式为y＝kx＋b，则?解得?∴
?2k＋b＝0，??
?b＝1.
1
直线l的函数解析式为y＝－x＋1.(4分)
2
(2)∵点P到y轴的距离为1，且点P在y轴左侧，∴点P的横坐标为－1.又∵点P在直313
－1，?.(6分)∵反比例函线l上，∴点P的纵坐标为－×(－1)＋1＝，∴点P的坐标是?2??22m3m33
数y＝的图象经过点P，∴＝，∴m＝－1×＝－.(8分)
x2－122
248
19．解：(1) (6分) 解析：设第一个正方形的边长是x，它落在AB，BC，AC
3927DEBDxDFAD
上的顶点分别为D，E，F，则△BED∽△BCA，∴＝＝，同理得到＝＝x，两
ACAB2BCABx24?2?2
式相加得到＋x＝1，解得x＝.同理可得第二个正方形的边长是＝?3?，第三个正方形的边
2398?2?3
长是＝?3?.
27
2?(2)??3?(10分)
20．解：过点C作CM∥AB交AD于M，过点M作MN⊥AB于N，则MN＝BC＝4米，CMPQCM133BN＝CM.(3分)由题意得＝，即＝，∴CM＝米，∴BN＝米．(5分)∵在Rt△AMN
CDQR3222中，MN＝4米，∠AMN＝72°，∴tan72°＝3
＋＝13.8(米)．(9分) 2
答：旗杆的高度约为13.8米．(10分) 21．(1)证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDA＋∠ABC＝180°.又∵∠ABE＋∠ABC︵︵＝180°，∴∠CDA＝∠ABE.(2分)∵BF＝AD，∴∠DCA＝∠BAE，∴△ADC∽△EBA.(6分)
︵︵︵
(2)解：∵A是BDC的中点，∴AB＝AC，∴AB＝AC＝8.(8分)由(1)可知△ADC∽△EBA，DCACACDC5
∴∠CAD＝∠AEC，＝，(10分)∴tan∠CAD＝tan∠AEC＝＝＝.(12分)
ABAEAEAB8
11
22．解：(1)把A(－2，0)代入y＝ax＋1中得a＝，∴直线的解析式为y＝x＋1.当y＝2
22
AN
，∴AN≈12.3米．(7分)∴AB＝AN＋BN≈12.3MN
n
1
k
时，x＝2，∴点P的坐标为(2，2)．(2分)把P(2，2)代入y＝中得k＝4，∴双曲线的解析式
x4
为y＝.(4分)
x
441
(2)设点Q的坐标为(a，b)．∵Q(a，b)在双曲线y＝上，∴b＝.∵直线y＝x＋1交y
xa2轴于B点，∴点B的坐标为(0，1)，∴BO＝1.∵点A的坐标为(－2，0)，∴AO＝2.(6分)当a－2bCHQH4
△QCH∽△BAO时，＝，即＝，∴a－2＝2b，a－2＝2×，解得a＝4或a＝－
AOBO21aa－2bCHQH
2(舍去)，∴点Q的坐标为(4，1)．(9分)当△QCH∽△ABO时，＝，即＝，∴2a
BOAO124
－4＝，解得a＝1＋3或a＝1－3(舍去)，∴点Q的坐标为(1＋3，23－2)．综上所述，
a点Q的坐标为(4，1)或(1＋3，23－2)．(12分)
23．解：(1)
2
(3分) 解析：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，△AOD是等腰直2
AO2AO2
角三角形，∴＝，∴＝. AD2DC2
AO12
(2)猜想：＝.(4分)证明如下：∵△BOC绕点B逆时针旋转得到△BO1C1，∴∠ABO
DC12AB2O1B
＝∠CBO＝∠O1BC1，∴∠ABO1＝∠DBC1.∵四边形ABCD是正方形，∴＝.又∵＝BD2BC1OB2ABO1BAO1AB2
＝，∴＝.又∵∠ABO1＝∠DBC1，∴△ABO1∽△DBC1，∴＝＝.(8分) BC2BDBC1DC1BD2
AEBE3
(3)为定值．(9分)在Rt△EBF中，∠EBF＝30°，∴＝.在Rt△ABD中，∠ABDDFBF2AB3BEAB
＝30°，∴＝，∴＝.∵∠EBF＝∠ABD，∴∠EBA＝∠FBD，∴△AEB∽△DFB，
BD2BFBD∴
AEAB3
＝＝.(14分) DFBD2
