令h(x)?g(x)?f(x), 则对于a?x1?x2?b有
h(x2)?h(x1)?g(x2)?g(x1)?[f(x2)?f(x1)]?V(f)?[f(x2)?f(x1)]?|f(x2)?f(x1)|?[f(x2)?f(x1)]?0x1x2
所以h(x)是?a,b?上的增函数……………………………………4分 因此f(x)?g(?x)h，(x其中g(x)与h(x)均为?a,b?上的有限增函
数…………. ……………………………………………………….6分
4、因为fn(x)在E上“基本上”一致收敛于f(x)，所以对于任意的k?Z?，存在可测
m(*集
Ek?E，
fn(x)在
Ek上一致收敛于f(x)，且
1E\\k?E)…………………………………………………3分
k?k?1?令E?Ek，则fn(x)在E*上处处收敛到f(x)……………5分
1，k=1,2km(E\\E)?m(E\\k?1*Ek)?m(E\\Ek)?
所以m(E\\E*)?0………………………………………………8分 5、证明：设en?E[|f|?n],由于
f(x)在E上a.e.有限，故
men?0,(n??)………………………………………………..2分 由
N?积
mN分
?|?eeN的
(绝
f)对连续性，对任何???0,?N，使
?4|x?dx………………………………………4分
令BN?E\\eN，在BN上利用鲁津定理，存在闭集FN?BN和在R1上的连续函数?(x)使（1）
m(BN\\FN)??4N;（2）
x?FN时，f(x?)?(x，且
（第17页，共18页）
sup|?(x)|?sup|f(x)|?N……………………6分
x?R1x?FN所以
?ba|f(x)??(x)|dx??|f(x)??(x)|dx??|f(x)??(x)|dxeNBNeNeNBN\\FN??|f(x)|dx??|?(x)|dx???|f(x)??(x)|dx??
?4?N?meN?2N??4N??4??4??2……………………...8分
（第18页，共18页）
