??所以S＝?
3n－13n＋28
，n≥3.??2
n2
13n－3n，1≤n≤2，2
2
[能力提升]
1．下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列??是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中真命题
?n??an?
为( )
A．p1，p2 C．p2，p3
B．p3，p4 D．p1，p4
解析：选D.由an＋1－an＝d＞0，知数列{an}是递增数列，可知p1是真命题；由(n＋1)an＋1
－nan＝(n＋1)(a1＋nd)－n[a1＋(n－1)d]＝a1＋2nd，仅由d＞0是无法判断a1＋2nd的正
负的，因而不能判定(n＋1)an＋1，nan的大小关系，故p2是假命题；显然，当an＝n时，＝1，数列??是常数数列，不是递增数列，故p3是假命题；数列的第n＋1项减去数列的第n?n??an?
ann项[an＋1＋3(n＋1)d]－(an＋3nd)＝(an＋1－an)＋[3(n＋1)d－3nd]＝d＋3d＝4d＞0，所以an＋1＋3(n＋1)d＞an＋3nd，即数列{an＋3nd}是递增数列，p4是真命题．
2．(2019·金华市东阳二中高三调研)设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝a2＝1，{nSn＋(n＋2)an}为等差数列，则an＝( )
A．n－1 22n－1C．n 2－1
nn＋1B．n－1 2＋1
D．
n＋1
2
n＋1
解析：选A.设bn＝nSn＋(n＋2)an，则b1＝4，b2＝8，因为{bn}为等差数列，所以bn＝4n，
?2?即nSn＋(n＋2)an＝4n，Sn＋?1＋?an＝4.
?
n?
2?2（n＋1）n＋1?2??当n≥2时，Sn－Sn－1＋?1＋?an－?1＋an－1＝0，所以an＝·an－1，即?nn－1?n??n－1?
?an?anan－1a11an?1?n－1
2·＝，又因为＝1，所以??是首项为1，公比为的等比数列，所以＝??nn－112n?2??n?
(n∈N)，即an＝n－1(n∈N)，故选A.
2
3．已知等差数列{an}满足a9＜0，且a8＞|a9|，数列{bn}满足bn＝anan＋1an＋2(n∈N)，{bn}的前n项和为Sn，当Sn取得最大值时，n的值为________．
*
*
n*
5
解析：设等差数列{an}的公差为d，因为a9<0， 且a8>|a9|，所以d<0，a8＋a9>0，a8>－a9>0. 所以当n≤8时，an>0；当n≥9时，an<0.
Sn＝a1a2a3＋a2a3a4＋…＋a6a7a8＋a7a8a9＋a8a9a10＋a9a10a11＋…＋anan＋1an＋2，
当n≤6时，anan＋1an＋2>0，当n≥9时，
anan＋1an＋2<0，而a7a8a9<0，a8a9a10>0，
又a7a8a9＋a8a9a10＝a8a9(a7＋a10)＝a8a9(a8＋a9)<0， 所以当Sn取得最大值时，n＝6. 答案：6
4．(2019·舟山市普陀三中高三期中)等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4－a2＝8，a3
＋a5＝26.记Tn＝2，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，Tn≤M都成立，则M的最小值是________．
解析：因为{an}为等差数列，由a4－a2＝8，a3＋a5＝26， 可解得Sn＝2n－n，
1
所以Tn＝2－，若Tn≤M对一切正整数n恒成立，则只需Tn的最大值小于或等于M即可．
2
Snnn1
又Tn＝2－<2，
n所以只需2≤M，故M的最小值是2. 答案：2
5．已知等差数列{an}的公差d＞0.设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36. (1)求d及Sn；
(2)求m，k(m，k∈N)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65. 解：(1)由题意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36， 将a1＝1代入上式解得d＝2或d＝－5. 因为d＞0，
所以d＝2，Sn＝n(n∈N)． (2)由(1)得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k ＝(2m＋k－1)(k＋1)， 所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65. 由m，k∈N知2m＋k－1≥k＋1＞1，
6
*
2
**
??2m＋k－1＝13，故? ?k＋1＝5，?
所以m＝5，k＝4.
6．(2019·浙江省衢州市高考数学模拟)在数列{an}中，a1＝1，2anan＋1＋an＋1－an＝n∈N*
)．
(1)求证：数列??1?
?a?为等差数列，并求{an}的通项公式；
n?
(2)若tan＋1(an－1)＋1≥0对任意n≥2的整数恒成立，求实数t的取值范围． 解：(1)由题意得，2anan＋1＋an＋1－an＝0， 两边同除anan＋1得，
1
a－1
n＋1a＝2，
n因为a?1?
1＝1，所以数列??a?是以1为首项、2为公差的等差数列，
n?
则1
a＝1＋2(n－1)＝2n－1，
n所以a＝1
n2n－1
.
(2)由(1)得，tan＋1(an－1)＋1≥0 即为t·1?1
2n＋1??2n－1－1???＋1≥0，
由n≥2化简得，t≤（2n－1）（2n＋1）
2（n－1），
设b（2n－1）（2n＋1）n＝2（n－1）
，
则bb（2n＋1）（2n＋3）（2n－1）（2n＋1）
n＋1－n＝2n－2（n－1）
＝2n＋1（2n＋3）（n－1）－n（2n－1）
2·n（n－1） ＝
（2n＋1）（2n－3）
2n（n－1）
>0，
所以当n≥2时， 数列{bn}是递增数列， 则
（2n－1）（2n＋1）15
2（n－1）≥2
，
所以实数t的取值范围是??15?－∞，2???.
7
0(
8
