第2讲 等差数列及其前n项和
[基础达标]
1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于( ) A．8 C．12
B．10 D．14
3×2
解析：选C.由题知3a1＋d＝12，因为a1＝2，解得d＝2，又a6＝a1＋5d，所以a6
2＝12，故选C.
2．(2019·浙江新高考冲刺卷)已知等差数列{an}，Sn是{an}的前n项和，则对于任意的
n∈N*，“an>0”是“Sn>0”的( )
A．充分不必要条件 C．充要条件 条件
解析：选A.对于任意的n∈N，“an>0”能推出“Sn>0”，是充分条件，反之，不成立，比如：数列5，3，1，－1，不满足条件，不是必要条件，故选A.
3．已知等差数列{an}，且3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝48，则数列{an}的前13项之和为( )
A．24 C．104
B．39 D．52
*
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要
解析：选D.因为{an}是等差数列，所以3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝6a4＋6a10＝48，所13（a1＋a13）13（a4＋a10）13×8以a4＋a10＝8，其前13项的和为＝＝＝52，故选D.
222
4．(2019·金华十校联考)在数列{an}中，若a1＝2，且对任意正整数m，k，总有am＋k＝am＋ak，则{an}的前n项和Sn＝( )
A．n(3n－1) C．n(n＋1)
B．D．
n（n＋3）
22
n（3n＋1）
解析：选C.依题意得an＋1＝an＋a1，即有an＋1－an＝a1＝2，所以数列{an}是以2为首项、2为公差的等差数列，an＝2＋2(n－1)＝2n，Sn＝n（2＋2n）
2
＝n(n＋1)，选C.
1
5．若数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，则使ak·ak＋1＜0的k值为( ) A．22 C．24
B．21 D．23
2
解析：选D.因为3an＋1＝3an－2，所以an＋1－an＝－，又a1＝15，所以数列{an}是首项
322247
为15，公差为－的等差数列，所以an＝15－·(n－1)＝－n＋，且{an}为递减数列，令
3333
an＝－n＋＞0，得n＜23.5，可知使ak·ak＋1＜0的k值为23.
6．(2019·温州十校联合体期初)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，则( ) A．若S9>S8，S9>S10，则S17>0，S18<0 B．若S17>0，S18<0，则S9>S8，S8>S10 C．若S17>0，S18<0，则a17>0，a18<0 D．若a17>0，a18<0，则S17>0，S18<0
解析：选B.A.由S9>S8，且S9＝S8＋a9得a9>0， 又S9>S10，S10＝S9＋a10，则a10<0，
因为S17＝17a9>0，S18＝9(a10＋a9)符号不确定，A错误； B．在等差数列{an}中，S17>0，且S18<0， 则S17＝17a9>0，S18＝9(a10＋a9)<0，
所以a9>0，a10<0，且|a10|>a9，所以等差数列{an}的公差d<0， 则S9＝S8＋a9>S8，S10＝S8＋a9＋a10 C．由B知，a1，a2，…，a9为正，a10，a11…为负，C错误； D．由a17>0，a18<0知，a1，a2，…，a17为正，a18，a19，…为负， 所以S17＝17a9>0，S18＝9(a1＋a18)＝9(a2＋a17)>0，D错误．故选B. 7．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a3＋a9＝a10－a8.若an＝0，则n＝________． 解析：因为a3＋a9＝a10－a8， 所以a1＋2d＋a1＋8d＝a1＋9d－(a1＋7d)， 解得a1＝－4d， 所以an＝－4d＋(n－1)d＝(n－5)d， 令(n－5)d＝0(d≠0)，可解得n＝5. 答案：5 8．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大 2 2 3473 值，则d的取值范围为________． ???a8＞0，?7＋7d＞0，?解析：由题意，当且仅当n＝8时，Sn取得最大值，说明所以?所以?a9＜0.?7＋8d＜0.?? 7 －1＜d＜－. 8 7??答案：?－1，－? 8?? 9．已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，且对任意n∈N，均有an，Sn，an成等差数列，则an＝________． 解析：因为an，Sn，an成等差数列， 所以2Sn＝an＋an， 当n＝1时，2S1＝2a1＝a1＋a1， 又a1>0，所以a1＝1， 当n≥2时，2an＝2(Sn－Sn－1)＝an＋an－an－1－an－1， 所以(an－an－1)－(an＋an－1)＝0， 所以(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0， 又an＋an－1>0，n≥2， 所以an－an－1＝1，n≥2， 所以{an}是等差数列，其公差为1， 因为a1＝1， 所以an＝n(n∈N)． 答案：n 10．(2019·嘉兴一中高考适应性考试)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a8＞0， ?Sn? a8＋a9＜0，则满足Sn＞0的n的最大值是________；数列??(1≤n≤15)中最大的项为第 ?an? * 2 2 2 2 2 2 2 * 2 ________项． 解析：因为等差数列{an}满足a8>0，a8＋a9<0， 15（a1＋a15） 所以S15＝＝15a8>0， 2 S16＝(a1＋a16)＝8(a8＋a9)<0， 所以满足Sn>0的n的最大值是15. 因为等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a8>0，a8＋a9<0， 3 162 所以该数列是递减数列，且|a8|最小，|S8|最大， 所以数列??Sn?? ?a(1≤n≤15)中最大的项为第8项． n?答案：15 8 11．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a6＝4，S5＝－5. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|，求T5的值． ?解：(1)由题知?2a1＋7d＝4???5×4 ，解得??a1＝－5 ?5a1＋2d＝－5??d＝2， 故a* n＝2n－7(n∈N)． (2)由a7＜0，得n＜7 n＝2n－2， 因为n∈N* ，即n≤3， 所以当n≤3时，an＝2n－7＜0， 当n≥4时，an＝2n－7＞0. 易知S2n＝n－6n，S3＝－9，S5＝－5， 所以T5＝－(a1＋a2＋a3)＋a4＋a5＝－S3＋(S5－S3)＝S5－2S3＝13. 12．(2019·嵊州模拟)已知函数f(x)＝x2 －2(n＋1)x＋n2 ＋5n－7(n∈N* )． (1)设函数y＝f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{an}，求证：{an}为等差数列； (2)设函数y＝f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列{bn}，求{bn}的前n项和Sn. 解：(1)证明：因为f(x)＝x2 －2(n＋1)x＋n2 ＋5n－7＝[x－(n＋1)]2 ＋3n－8， 所以an＝3n－8， 因为an＋1－an＝3(n＋1)－8－(3n－8)＝3， 所以数列{an}为等差数列． (2)由题意知，bn＝|an|＝|3n－8|， 所以当1≤n≤2时，bn＝8－3n， Sn[5＋（8－3n）]＝13n－3n2 n＝b1＋…＋bn＝ n（b1＋bn）2 ＝2 2 ； 当n≥3时，bn＝3n－8， Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝5＋2＋1＋…＋(3n－8) （n－2）[1＋（3n－8）]3n2 ＝7＋－13n＋282＝2 . 4
