1.3.1 二项式定理
(建议用时：40分钟)
对应题号 考点 基础训练 能力提升 1.二项式定理的正用与逆用 1,4 2.求二项展开式的特定项 5 9,11,13 3.展开式的二项式系数与项的系数 2,3,7,8 6,12 4.整除问题和近似计算 10 一、选择题 1. 2C1
2
3
n－1
n＋6Cn＋18Cn＋…＋2×3×Cnn＝( )
2n＋1A．23
B．23(4n－1) C．2×3n－1
D．23
(3n－1) B 解析 2C1
2
3
n－1n＋6Cn＋18Cn＋…＋2×3Cnn
＝23
(C122＋…＋Cnnn×3＋Cn×3n×3) ＝23(C00122nnn×3＋Cn×3＋Cn×3＋…＋Cn×3－1) ＝23[(1＋3)n－1]＝2n3
(4－1)． 2．若???x＋12x??n?的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x4
项的系数为( A．6 B．7 C．8
D．9
B 解析 因为???x＋12x??n?的展开式中前三项的系数C0
1112n，2·Cn，4Cn成等差数列，
所以C01212
n＋4
Cn＝Cn，即n－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(舍)．
TCr8－rr8x·???12x???＝???12?r?
?Cr8－2rr＋1＝8x， 令8－2r＝4，可得r＝2，故x4
的系数为??1?2??22?
·C8＝7.
3. (2017·全国卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5
的展开式中x3y3
的系数为( ) A．－80
B．－40
)
C．40
5
5
D．80
5
5
C 解析 (x＋y)(2x－y)＝x(2x－y)＋y(2x－y)，由(2x－y)展开式的通项公式Tr＋1
＝C5(2x)
r5－r(－y)可得，当r＝3时，x(2x－y)展开式中xy的系数为C5×2×(－1)＝－40；
5
33
2
3
2
33
r533323
当r＝2时，y(2x－y)展开式中xy的系数为C5×2×(－1)＝80，则xy的系数为80－40＝40.故选C项．
4．若对于任意的实数x，有x＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)＋a3(x－2)，则a2的值为( ) A．3 C．9
B．6 D．12
3
2
3
3
2
3
B 解析 设x－2＝t，则x＝t＋2，原式化为(2＋t)＝a0＋a1t＋a2t＋a3t，所以a2＝C3·2＝6.故选B项．
1?n?*
5．若二项式?x＋?(x>0，且n∈N)的展开式中含有常数项，则指数n必为( )
2
?x?
A．奇数 C．3的倍数
C 解析 由Tr＋1＝Cn(x)
rn－rB．偶数 D．5的倍数
?1?rrn－3r，因展开式中含有常数项，故n－3r＝0·??＝Cnx2?x?
有解，所以n必为3的倍数．故选C项．
6．在(x＋3x＋2)的展开式中x的系数为( ) A．160 C．360
2
5
2
2
5
B．240 D．800
B 解析 把(x＋3x＋2)看作5个因式(x＋3x＋2)相乘，其中一个因式取3x，其他4个因式取2，得C5·3x·C4·2＝240x，所以x的系数为240.
二、填空题
1?6?2
7．在?x－?的展开式中，x的系数为________.
?4x?解析 通项为Tr＋1＝C6xr6－r1
4
4
?－1?r＝Cr?－1?rx6－2r， ?4x?6?????4?
1?21522?令6－2r＝2?r＝2，x的系数为C6?－?＝.
?4?16答案
15 16
3
2
5
4
3
2
8．(2017·浙江卷)已知多项式(x＋1)(x＋2)＝x＋a1x＋a2x＋a3x＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________.
解析 a4是x项的系数，由二项式的展开式得a4＝C3·C2·2＋C3·C2·2＝16；a5是常数项，由二项式的展开式得a5＝C3·C2·2＝4.
答案 16 4
3
2
2
3
1
2
2
2
9．若n是77－10除以19的余数，则?
77
77
77
?5232?n－x?的展开式中的常数项为________. 2x5??
?2?r5r?5?10－r?－＝C10????xr－10， ?x?2??5?3?
2r解析 将77－10变形为(76＋1)－10，由二项展开式可得余数为10，从而得到
?523
?－?2x5??23r?5?10－r的展开式的通项T＝C·r＋110????－x?2x???5
2n2?616851686?5?4?令r－10＝0，得r＝6，所以T7＝C10???－?＝.所以展开式中的常数项为. 355?2??5?答案
168
5
三、解答题
10．(1)某公司的股票今天的指数为2，以后每天的指数都比上一天的指数增加0.2%，求这家公司100天后的股票指数(精确到0.001)．
(2)求证：51－1能被7整除．
解析 (1)依题意有2(1＋0.2%)＝2(1＋0.002) ＝2×[C100＋C100×0.002＋C100×0.002＋…] ＝2(1＋0.2＋0.0198＋…)≈2.4396≈2.440， 故100天后，这家公司的股票指数为2.440.
(2)证明：因为51－1＝(49＋2)－1＝C5149＋C5149×2＋…＋C51×49×2＋C51×2
51
51
51
317
17
0
51
51
0
51
1
50
50
50
51
51
0
1
2
2
100
100
51
－1，易知除(C51×2－1)以外各项都能被7整除，又2－1＝(2)－1＝(7＋1)－1＝C17×7＋C17×7＋…＋C17×7＋C17－1＝7(C177＋C177＋…＋C17)，显然上式能被7整除，所以51－1能被7整除．
1
16
16
17
0
16
1
15
16
17
51
?x－1?
?n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列． 11．已知?4??2x??
(1)证明：展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有有理项．
1?1?212
解析 依题意，前三项系数的绝对值是1，Cn·，Cn·??，
2?2?112?1?2
所以有2Cn·＝1＋Cn??，
2?2?
即n－9n＋8＝0，解得n＝8(n＝1 舍去)． 所以展开式的第k＋1项为C8(x)C816－3k1)·k·x.
24
kkk8－k2
?－1?1?kk8－kk??k＝?－C·x－＝(－??8·x?24x??2?24??
16－3k(1)证明：若第k＋1项为常数项，当且仅当＝0，即3k＝16，
4因为k∈Z，所以上式不可能成立，所以展开式中没有常数项． 16－3k(2)若第k＋1项为有理项，当且仅当为整数，
4
因为0≤k≤8，k∈Z，所以k＝0,4,8，即展开式中的有理项共有三项，它们分别是T1
351－24
＝x，T5＝x，T9＝x.
8256
12．在(x－2y＋3z)的展开式中，求xyz项的系数． 解析 可以把y，z看作参数，则Tk＋1＝C5x2
3
2
5
3
k5－k(－2y＋3z)，则含x的项为C5x(－2y＋
k323
3z)，即xyz项的系数为2×(－2)×3×C5＝－120.
四、选做题
?1?n*3
13．已知?2－?(m＋x)(n∈N)的展开式中共有7项，且所有项系数和为32，则含x?
x?
项的系数为( )
A．－15 C．15
B．0 D．20
?1?nnn－1
C 解析 因为展开式的项数共有7项，即?2－?(m＋x)＝anx＋an－1x＋…＋a1x＋a0
?
x?
?1?－15
＋a－1x，所以n＝5.令x＝1得展开式中所有项系数和为(m＋1)＝32，得m＝1.因为?2－?
?
x?
?1?505142332453
(1＋x)＝?2－?·(C5·x＋C5·x＋C5·x＋C5·x＋C5·x＋C5)，故展开式中含x项的系数
?
x?
为－C5＋2C5＝15.故选C项．
1
2
