四年级数学思维训练 数列求和问题
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德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋?＋99＋100＝？
老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：
1＋100＝2＋99＝3＋98＝?＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为
（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。 下面介绍有关等差数列的概念。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差，数列中数的个数称为项数。
例如：
（1）5，6，7，8，?，100； （2）1，3，5，7，9，?，99； （3）4，12，20，28，?，804； （4）1，4，8，16，?，256。
其中（1）是首项为5，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为4，末项为804，公差为8的等差数列；（4）中前后两项的差都不相等，它不是等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：
和=（首项+末项）×项数÷2。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到
项数=（末项－首项）÷公差＋1， 末项=首项＋公差×（项数－1）。
【典型例题】
例1 、下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请说明公差，若不是，则说明理由。 （1） 6， 10， 14， 18， 22，?98； （2） 1， 2， 1， 2， 3， 4，5，6； （3） 1， 2， 4， 8， 16，32， 64； （4） 9， 8， 7， 6， 5， 4， 3，2； （5） 3， 3， 3， 3， 3， 3， 3；
例2、求1＋2＋3＋?＋1999
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（1）1＋2＋3＋?＋76＋77＋78 （2）1＋3＋5＋?＋95＋97＋99
例3、求11＋12＋13＋?＋31
练习：2＋6＋10＋14＋?＋202＋206＋210
例4、求3＋7＋11＋?＋99 练习：
（1）4＋7＋10＋?＋292＋295＋298
例5、求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
练习：求首项是5，公差是3的等差数列的前1999项的和。
例6、计算
（1）2000－3－6－9－?－51－54
2）8＋15＋22＋29＋36＋?＋71。 2
（
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（2）（2＋4＋6＋?＋96＋98＋100）－（1＋3＋5＋?＋95＋97＋99）
（3）1991－1998＋1985－1982＋?＋11－8＋5－2 练习：
（1）4000－1－2－3－?－76－77－78 （2）560－557＋554－551＋?＋500－497
（3）204－198＋192－186＋?＋24－18＋12－6
例7、某市举行数学竞赛，比赛前规定，前15名可以获奖，比赛结果第一名1人，第二名并列2人，第三名并列3人，?, 第十五名并列15人,问得奖的一共有多少人?
练习:小明计算从1开始的若干个连续自然数的和,结果由于粗心把1当10来计算,得错误结果恰好是100,他算的是那些自然数的和?
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例8、在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？
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练习：用相同的立方体摆成如图的形式，如果共摆成10层，那么最下面一层有多少个立方体？
例9、 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里??第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？
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