全国中学生数理化学科能力展示活动优秀论文精选
远投3分球在现代篮球比赛中十分重要。我是一个篮球投手，因此对投篮运动的分析很感兴趣，在学习了有关数理知识后，试图用建立数学模型的方法，分析在某一距离投篮，手对球的作用力大小方向如何，如何让人能够控制好出手力度，才能使篮球的命中率最大，从而使我们的训练和比赛有科学的依据，而不只是靠运气。
对于定点远投，篮球出手高度、速度和角度是影响命中率的三大因素。本文在分析投蓝的运动学过程的基础上，运用相关数学知识建立了定点远投空心篮的数学模型，讨论了各关键因素之间的关系，并计算有关的数据。 主体
基本数据：篮球场长度为28米，宽15米，篮筐高3.05米，g可取10N/kg。篮球质量一般约为0.6kg。
我们可以用平面代替立体，暂且不考虑三维的情况，即默认无侧面刮来的风。 那么可以建立2维直角坐标系对问题进行简化研究，如下图： y B F C A x
图1 o 3.那么，我们可以进行有关于A点所施的力F的计算了。之前，为了计算简便，我们将受力时间t设为0.1s（可以知道这一时间很短，为简化问题，设它为0.1s），下面我们将在这一将球，其轨迹和球筐中心抽象到同一平面内的坐标系中计算F和人与篮筐距离L及人跳起投篮时球的高度h之间的关系。
解： 将F正交分解：设F与水平方向交角为b。水平分力F1，竖直分力F2。F=ma （为过程简略部分省略单位） V（水平）= F1/0.6kg×0.1s= F1/6 T=L/ V（水平）V（竖直）=（F2-0.6kg×g）/0.6kg×0.1s= F2/6-1 （1）
2
又有x=vt-1/2gt 2
3.05-h=V（竖直）× T-5T (2) 连立（1）（2）由T=T的关系可得：（F1=F×cosb F2=F×sinb）
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tanb×L×F×cosb-6L×F×cosb-180L
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全国中学生数理化学科能力展示活动优秀论文精选 F×cosb =3.05-h 222222231/2 -6L×cosb+ （36L×cosb -2196L cosb+720 cosb×h×L+720tanb×cosb×L ） F= 222 6.1 cosb-2 cosb×h-2tanb×L×cosb b（min）=arctan（3.05-1.8）\\L= arctan1.25/L（取不到） b∈（arctan5/24，∏/2） （实际可能在该域波动，但要有一定角度。） （不妨设L=6 h=1.8，） 将得到的函数输入几何画板中，得到的在定义域中的图像很明显单调递增。（由于横坐标问题，用了弧度制，对值域影响较大，它的图像看起来就像一条直线，其实不是。） 822642-55-2 图2 让我们继续扩展一些：如果有来自你左方或右方的风，不用害怕投不进，在前面的基础上在与刚刚的平面垂直的平面中改变力的方向即可。简单来说，就是往和风向相反的方向用力投篮，这也就是最基本的对于速度合成与分解的矢量三角形。 红：风的速度。蓝：球的速度。黑：构成矢量三角形的辅助向量。绿：对球力的方向，给球的速度。 图3 5．如果你愿意用这公式，在确定好你爱的出手角度后，不难得出一个确定的力，但是，对于力的大小机体恐怕没有更好的概念，控制不好这个力，但是将N这个单位直观化不就好了？易知一个鸡蛋重量为0.5N，设置新的力的单位记为JD，1JD读作1鸡蛋力1JD=0.5N。 得出力的值后，换算为鸡蛋力，力的大小就直观了，找几个鸡蛋举举看，感受一下，对于投篮力度的掌握大有益处。 讨论 26 全国中学生数理化学科能力展示活动优秀论文精选
下面我们对于上面推出的关系式作解释。作为投手，首先要确定自己的投篮的弧度，不忽略风，若逆风投篮，由于弧度越大，相对球在空中时间越长，这样风对于球的影响也就越大，故应减小投篮角度。反之亦可作类似论述。关系式是理想状况下的，忽略了风，因此，角度由你的喜好而定，通过方程可求出两个值。都可以吗？显然不是，观察第一个图，有两点经过了篮筐的高度，我们要的是右边的，由前面的式子可得，两个值选择大的那个值即可
这也是本关系式缺陷所在，要取舍一下。我们得到了一个函数，得到的结论告诉我们，在理想状况下，你投篮角度越大，力度也要增大。这一研究得出的结论如果运用好，无疑可以将这门体育运动变得更加理性化，让投手们对自己的投篮更有信心，而不是去求神拜佛。这一理论，将对于篮球教学大有裨益。但是它不是万能的，除了上面提到的小缺陷外，这个结论忽略了实际中不可或缺的影响因素，因此会有偏差，保证必进是不现实的，它只能增大进球概率。 注：本文没有引用任何专业的文献资料。工具：《几何画板》
圆形广场的地下灯排布问题
北京十一学校高一年级：肖菁
摘要：本文为一个广场设计了安装地下灯的方案。本文通过构建理想模型，利用圆的半径、圆心角、弓形面积及三角函数、反三角函数进行研究，综合美观、节约、光照率等问题，得到一个较合适的方案。
关键词：地下灯排布、光照率、三角函数、圆 壹：问题的提出：
某将要修建的商业街欲在其中包含一个半径约为11米圆形广场，该广场的地下将安装数盏地下灯（最好不超过50盏，不少于30盏），且希望这些地下灯排列有序，尽量不浪费光源（即它们的光照面尽量不重叠，重叠率（=重叠面积/总面积）不要大于2%），且不要有连续大片无光照区域（光照率（=总光照面积/总面积）不要小于80%）。本文针对此，设计了一种方案。 贰：建立模型：
把该广场看作一个大圆，一个地下灯的光照面为一个小圆。 叁：制定方案
在广场正中安装一盏灯，再按光照范围围绕它安装三圈灯。设大圆半径为R，取r=R/7为小圆半径。即在大圆内有一个与之同圆心的小圆，再围绕它放置三圈小圆，如图1。
肆：研究计算：
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如图2设最外圈一个小圆对应以O为圆心，6r为半径的圆的圆心角为a。
三角形AO1O中，
tan(a/2)=r/6r=1/6，
2[1][2]
∵tana=2tan(a/2)/ [ 1-tan(a/2)], ∴tana=12/35,a≈18.92°，
360/18.92=19余0.52，∴最外圈安19盏灯较好。
同理，则如图3设从外数第二圈一个小圆对应以O为圆心，4r
为半径的圆的圆心角为b。 三角形BO2O中，
tan(b/2)=r/4r=1/4，
2
∵tanb=2tan(b/2)/ [ 1-tan(b/2)], ∴tanb=8/15,b≈28.07°， 360/28.07=12余23.16，∴从外数第二圈安13盏灯较
好。
同理，则如图4设从内数第二圈一个小圆对应以O为圆心，2r半径的圆的圆心角为c。
三角形CO3O中，tan(c/2)=r/2 r=1/2，
2
∵tanc=2tan(c/2)/ [ 1-tan(c/2)], ∴tanc=4/3,c≈53.13°， 360/53.13=6余41.22，∴从内第二圈安7盏灯较好。
且从外数第二圈的小圆有互相叠的部分，且为美观，使重叠部
为
数重分
均匀分布，则局部如图5。
设一个重叠部分面积为S1。如图6。 sinb1=O2B1/O2O， ∴O2B1=O2O*sinb1，
其中b1=360/(13*2)，O2O=4r， ∴O2B1≈0.96r，
∴cosd= O2B1/ O2D≈0.96， d≈16.26°，
2
∴S1/4=d∏r/360- O2B1* B1D/2
222
=d∏r/360- 0.5* O2B1*tand≈0.0075r，
2
∴13S1=0.39r，
同理从内数第二圈的小圆有互相重叠的部分，且为美观，使重叠部分均匀分布，则局部如图7。
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