特征值特征向量复习题
一、填空
1. 已知三阶方阵A的三个特征值为1，-2，-3，则A? ， A?1的特征值为 ，AT的特征值为 ， A*的特征值为 。
2. Ak?0,k为正整数，则A的特征值 。 3. A2?A，则A的特征值为 。 4. ???22?y31??1??与 ?3x???2??相似，则x?4?? ，y? 。
5. n 阶零矩阵的全部特征向量是 。 6. 若A~I，则A＝ 。
7. 若矩阵A有一个特征值为-1，则A?I? 。
8. 已知三阶方阵A的特征值为1,2,2，若A不能对角化，则r?I?A?? ，
r?2I?A?? 。若A能对角化，则r?I?A?? ，r?2I?A?? 。9. 已知三阶方阵A的行列式A?6，A有一个特征值为-2，则A*必有一个特征
值为 ，A3?4A2?8A?8I必有一个特征值为 ，A?4A?8A?8I?32 。
10. 已知三阶方阵A的特征值为-1,1,2，则A2?A?2I的特征值为 ，
A?A?2I?2 。
11. 已知三阶方阵A的行列式-2，A*有一个特征值为6，则A?1必有一个特征值
为 ，A必有一个特征值为 ，5A?1?3A*必有一个特征值为 ，5A?1?3A必有一个特征值为 。
12. 设n阶方阵A的n个特征值为1,2,…,n，则A?I? 。
13. 已知三阶方阵A的特征值为-1,1,2，它们对应的特征向量分别为X1,X2,X3，
令Q??X2,X1,X3?，则Q?1AQ= 。
14. 若0.5不是方阵A的特征值，则I?2A 可逆矩阵。（填是或不是） 15. 设n阶矩阵A有特征值2，且kA2?6A?8I，则k? 。 二、选择题
1. 设A为n阶方阵，以下结论中，（ ）成立。
A． 若A可逆，则矩阵A的属于特征值?的特征向量也是矩阵A?1的属于特征
值??1的特征向量。
B． A特征向量是方程(?I?A)X?O的全部解。 C． A的特征向量的线性组合仍为的A的特征向量的。 D． A与AT有相同的特征向量。
?1?2. 设A???1?0?2x03??2?，已知A的特征值为2，1，3，则x=（ ） 1??A． -2 B. 3 C. 4 D. –1 3. 已知矩阵???12??2230??x??，有一个特征向量????5??，则??3?x=（ ）
A． -18 B. -16 C. –14 D. –12 4. 若A~B，则有（ ） A．?I?A??I?B
B. A?B
C．对于?，矩阵A与B有相同的特征向量 D. A与B均与一个对角阵相似 三、计算题
?2?1. 求A???2?0??21?20???2?的特征值及对应的特征向量。 0???0?2. 设A??1??2??3??43. 设A＝?0??0?10?3104?30000106???3?，求可逆阵P，使得P?1AP为对角阵。 8??0??0?n，求。 A1??1??4. 若三阶方阵A的特征值为?1?6，?2??3?3，其对应的特征向量为 ?1?(1,1,1)T,?2?(?1,0,1)T,?3?(1,?2,1)T，求A，A5。
?1?5. 设A＝?a?1?a1b1??b?,1???0?与B??0?0?0100??0?相似， 2??求（1）a，b 之值，
（2）求可逆阵P，使得P?1AP＝B
?1??2???6. 已知???1?是A??5??1??1?????1ab2??3?的一个特征向量。 ?2??（1） 试确定参数a,b及特征向量?所对应的特征值。 （2） 问A能否相似于对角阵？说明理由。
7．已知1,1,-1是三阶实对称矩阵A的特征值，向量?1??1,1,1?，?2??2,2,1?
TT 是A的属于特征值1的特征向量，求（1）矩阵A的属于特征值-1的特征向 量；（2）矩阵A。
8．设有四阶方阵A满足3I?A?0，AAT?9I，A?0，求A*的一个特征值。
?a?9．设矩阵A??5?1?c?T?1b0c??3?，A??1，A*有一个特征值?0，对应的特征向 ?a?? 量为????1,?1,1?，求a,b,c,?0的值。
10．设n阶方阵满足A2?4A?4I?0，证明A的特征值仅为-2。
