若x?(?1，1)，则f'(x)?0 故f(x)在(?1,1)上是减函数；
所以f(?1)?2是极大值，f(1)??2是极小值。 ┅┅┅┅┅┅┅┅ （6分） （2）曲线方程为y?x?3x，点A(0,16)不在曲线上。 设切点为M(x0,y0)，则y0?x0?3x0 由f'(x0)?3(x0?1)知，切线方程为
y?y0?3(x0?1)(x?x0) ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （9分） 又点A(0,16)在切线上，有16?(x0?3x0)?3(x0?1)(0?x0) 化简得 x0??8，解得 x0??2
所以切点为M(?2,?2)，切线方程为 9x?y?16?0 ┅┅┅┅┅┅ （12分） （19）（本小题满分14分）
解：f'(x)?12x?24x?12x?24?12(x?1)(x?1)(x?2)
令f'(x)?0，得：x1??1,x2?1,x3?2 ┅┅┅┅┅┅┅ （2分） 当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表：
323322323x (0,1) ? 1 0 (1,2) － 2 0 (2,??) ? f'(x) f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ∴极大值为f(1)?13，极小值为f(2)?8 又f(0)?0，故最小值为0。 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （6分）
最大值与a有关：
（1）当a?(0,1)时，f(x)在(0,a)上单调递增，故最大值为：
f(a)?3a?8a?6a?24a ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （8分） （2）由f(x)?13，即：3x?8x?6x?24x?13?0，得： (x?1)(3x?2x?13)?0，∴x?1或x?224324321?210 3 又x?0，∴x?1或x?1?210 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （10分） 3 ∴当a?[1,1?210]时，函数f(x)的最大值为：f(1)?13 ┅┅ （12分） 3 第 5 页
（3）当a?(41?210,??)时，函数f(x)的最大值为： 332 f(a)?3a?8a?6a?24a ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （14分） （20）（本小题满分12分）
解：设圆锥的底面半径为r，高为h，体积为V，则 由h?r?R，所以 V?2221111?r2h??(R2?h2)h??R2h??h3,(0?h?R) 3333312R ┅┅┅┅┅┅┅ （6分） ?R??h2，令V'?0得 h?333R是函数V的唯一极值点，且为最大值点，从而是最大值点。 3 ∴V'? 易知：h? ∴当h?3R时，容积最大。 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （8分） 3 把h?36R代入h2?r2?R2，得 r?R 3326? 3 由R??2?r得 ?? 即圆心角??26?时，容器的容积最大。 ┅┅┅┅┅┅┅ （11分） 326?时，容器的容积最大。 ┅┅┅┅ （12分） 3答：扇形圆心角?? (21) （本小题满分12分）
?y?kx2y?x?x 解：解方程组? 得：直线分抛物线的交点的横坐标为 y?kx2?y?x?x x?0和x?1?k ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （4分） 抛物线y?x?x与x轴所围成图形为面积为 S?21213112(x?x)dx?(x?x)|0? ┅┅┅┅┅ （6分） ?02361 由题设得
1?k1?kS2 ?(x?x)dx??kxdx
02?0 ??1?k0(1?k)3(x?x?kx)dx? ┅┅┅┅┅┅┅ （10分）
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34113 又S?，所以(1?k)?，从而得：k?1? ┅┅┅┅┅ （12分）
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