五、解答题：（本题共20分，第24题6分，第25—26题每小题7分）
24．如图1，将边长为1的正方形ABCD压扁为边长为1的菱形ABCD．在菱形ABCD 中，∠A的大小为α，面积记为S．
（1）请补全下表： α 30° S 1 245° 60° 90° 1 120° 135° 2 2150° （2）填空： 由（1）可以发现单位正方形在压扁的过程中，菱形的面积随着∠A大小的变化 而变化，不妨把单位菱形的面积S记为S(α)．例如：当α＝30°时，S?S(30?)?； 当α＝135°时，S?S(135?)?2．由上表可以得到S(60?)?S( ______°)；S(150?)?S212( ______°)，…，由此可以归纳出S(180???)?S()．
（3） 两块相同的等腰直角三角板按下图的方式放置，AD＝2，∠AOB＝α，试探究图中两个带阴影的三角形面积是否相等，并说明理由（注：可以利用（2）中的结论）．
25．如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在正方形ABCD外部，且满 足∠CMN＝90°，CM＝MN．连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F 点．
AD（1）①依题意补全图形； ②求证：BE⊥AC． M BC5
（2）请探究线段BE，AD，CN所满足的等量关系，并证明你的结论．
（3）设AB＝1，若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的面积为______________（直接写出答案）．
26．在平面直角坐标系xOy中，图形G的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平 行于x轴，y轴，图形G的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小．设矩形的较 长的边与较短的边的比为k，我们称常数k为图形G的投影比．如图1，矩形ABCD 为△DEF的投影矩形，其投影比k?BC． AB
图1 图2
备用图
（1）如图2，若点A（1，3），B（3，5），则△OAB投影比k的值为 ．
（2）已知点C（4，0），在函数y?2x?4（其中x?2）的图象上有一点D，若△OCD的投影比k?2，求点D的坐标．
（3） 已知点E（3，2），在直线y?x?1上有一点F（5，a）和一动点P，若△PEF的投影比
1?k?2，则点
P的横坐标m的取值范围________________（直接写出答案）．
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参考答案
一、选择题（本题共30分，每小题3分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B D A C B C 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 7 D 8 B 9 C 10 B 11．x2?x?0或x(x?1)?0（答案不唯一）； 12．m??4；
13．对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角；（“矩形的四个角都是直角”没写不扣分）
14．x≤3； 15．； 16．2．
三、解答题（本题共22分，第17—19题每小题4分，第20—21题每小题5分） 17．解：原式＝(23?3)?6?2?＝33?6?2 2, ----2分 122?说明：12?23（1分），（1分） 2232 ＝3?32?2 --------------------------3分 ＝92?2 ＝82. ----------------------------------4分
18．解：y2?2y?1?0, ----------------------------------------------1分
(y?1)2?0, ----------------------------------------------3分
y1?y2?1. ---------------------------------------------------------4分
19．解法一：
解：∵x?1是方程x2?3ax?a2?0的一个根，
a?a2?0 ∴1?3. -----------------------------------------------------1分
∴a2?3a??1. -----------------------------------------------------------2分
∴3a2?9a?1?3(a2?3a)?1 -------------------------------------------3分
?3?(?1)?1??2.
-----------------------------------------4分
解法二：
解：∵x?1是方程x2?3ax?a2?0的一个根，
∴ 1?3a?a2?0. ------------------------------------------------------1分
∴a2?3a?1?0. -----------------------------------------------------2分
解方程得a?把a?3?5. -----------------------------------------------------3分 23?5代入得3a2?9a?1得3a2?9a?1??2. ------------------4分 27
20．解：（1）设此一次函数的表达式为y?kx?b（k?0）.
∵一次函数的图象经过点A（2，3）与点B（0，5）,
∴??2k?b?3, ----------------------------------1分
b?5.??k??1, b?5.?解得?∴此一次函数的表达式为y??x?5.----------------------------3分 说明：求对k给1分，求对b给1分.
（2）设点P的坐标为（a，?a?5）. ∵B（0，5）, ∴OB＝5.
∵S△POB＝10,
∴?5?|a|?10. ∴|a|?4.
∴a??4.
∴点P的坐标为（4，1）或（?4，9）.
----------------------------------------------5分
说明：两个坐标每个1分.
21．解：连接AC，过点C作CE⊥AB于点E. ∵AD⊥CD,
∴∠D＝90°.
在Rt△ACD中, AD=5, CD=12,
AC＝AD2?CD2?52?122?13. -----------------------------1分 ∵BC＝13,
∴AC＝BC. --------------------------2分 ∵CE⊥AB, AB=10,
∴AE＝BE＝AB＝?10?5. ----------------------3
分
在Rt△CAE中,
CE＝AC2?AE2?132?52?12. ----------4分
1212121212E∴S四边形ABCD＝S△DAC＋S△ABC＝?5?12??10?12?30?60?90. -------------5分
四、解答题（本题共10分，第22题5分，第23题5分） 22．（1）65.2; -------------------------------------------------------1分
（2）西城; 海淀;（每空1分） -------------------------------3分 （3）解：设海淀平均每年常住外来人口的下降率为x. 由题意，得
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